ローラン展開(Laurant expansion)

定理 5..1 (ローラン展開)   $C_{1},C_{2}$を中心とする同心円,それらの半径を $r_{1},r_{2}$とし,$C$$C_{1}$$C_{2}$の間の任意の同心円とする.関数$f(z)$$C_{1}$$C_{2}$で囲まれた円環状領域 $r_{2} \leq \vert z - a\vert \leq r_{1}$で1価で正則であるとき, $r_{2} < \vert z -a\vert <r_{1}$である任意の$z$に対して
$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \cdots + \frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}} + \cdots + \frac{c_{-2}}{(z-a)^2} + \frac{c_{-1}}{z-a}$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle c_{0} + c_{1}(z-a) + \cdots + c_{n}(z-a)^{n} + \cdots$  

と展開される.ここで,各項の係数は

$\displaystyle c_{n} = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\; d\zeta\ (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

練習問題5.1
1. 関数 $f(z) = \frac{1}{z^2 - 3z + 2}$に付いて次の各領域の点について,原点を中心としたローラン展開せよ
(a)
$\vert z\vert < 1$
(b)
$a < \vert z\vert < 2$
(c)
$\vert z\vert > 2$
2. 次の関数を,[ ]内の点を中心としてローラン展開せよ.また,その中心はどのような特異点か.
(a)
$\frac{1}{z^{3}(z+1)} \ \ [z=0]$
(b)
$\frac{z^3}{(z+1)} \ \ [z = -1]$
(c)
$\frac{e^{z^2}}{z^3} \ \ [z = 0]$
(d)
$\frac{\sin{z}}{z - \pi} \ \ [z = \pi]$