ローラン展開(Laurant expansion)

定理 5..1 (ローラン展開)   $C_{1},C_{2}$を中心とする同心円，それらの半径を $r_{1},r_{2}$とし，$C$を$C_{1}$と$C_{2}$の間の任意の同心円とする．関数$f(z)$が$C_{1}$と$C_{2}$で囲まれた円環状領域 $r_{2} \leq \vert z - a\vert \leq r_{1}$で１価で正則であるとき， $r_{2} < \vert z -a\vert <r_{1}$である任意の$z$に対して

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$$

$$= \cdots + \frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}} + \cdots + \frac{c_{-2}}{(z-a)^2} + \frac{c_{-1}}{z-a}$$

$$+ c_{0} + c_{1}(z-a) + \cdots + c_{n}(z-a)^{n} + \cdots$$

と展開される．ここで，各項の係数は

$$c_{n} = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\; d\zeta\ (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$$

練習問題5.1

1． 関数 $f(z) = \frac{1}{z^2 - 3z + 2}$に付いて次の各領域の点について，原点を中心としたローラン展開せよ

(a)

$\vert z\vert < 1$

(b)

$a < \vert z\vert < 2$

(c)

$\vert z\vert > 2$

2. 次の関数を，[ ]内の点を中心としてローラン展開せよ．また，その中心はどのような特異点か．

(a)

$\frac{1}{z^{3}(z+1)} \ \ [z=0]$

(b)

$\frac{z^3}{(z+1)} \ \ [z = -1]$

(c)

$\frac{e^{z^2}}{z^3} \ \ [z = 0]$

(d)

$\frac{\sin{z}}{z - \pi} \ \ [z = \pi]$