極限と連続(Limit and continuity)

$z_{0}$ の近傍 $0 < \vert z - z_{0}\vert < A$ で定義された $w = f(z)$

において， $\vert z - z_{0}\vert \to 0$ に対して $\vert w - w_{0}\vert \to 0$ となるとき，つまり任意の正の数 $\varepsilon > 0$ に対して， $0 < \delta < A$ なる適当な $\delta$ が定まり， $0 < \vert z - z_{0}\vert < \delta$ なるすべての $z$

に対して $\vert w - w_{0}\vert < \varepsilon$ が成り立つとき， $f(z)$

は極限値 $w_{0}$ をもつといい， $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = w_{0}$ と書く．

注 $z \to z_{0}$ の方向は無数にあるが，どんな方向から $z_{0}$ に近づいても， $w \to w_{0}$ となることである．

$\lim_{z \to z_{0}}\vert w\vert = + \infty$ のとき $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = \infty$ と定める．実関数の場合， $+\infty$ と $-\infty$ と2つの場合があったが，上の定義より複素関数の場合は $+\infty$ の場合しかない．

定理 3..1 $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = A, \ \lim_{z \to z_{0}}f(z) = B$ が存在して有限ならば

(1) $\lim_{z \to z_{0}}\{f(z) \pm g(z)\} = A \pm B = \lim_{z \to z_{0}}f(z) \pm \lim_{z \to z_{0}}g(z)$

(2) $\lim_{z \to z_{0}}\{f(z)\cdot g(z)\} = AB$

(3) $\lim_{z \to z_{0}}\{\frac{f(z)}{g(z)}\} = \frac{A}{B} \ (B \neq 0)$

領域 $D$ で定義された $w = f(z)$ において， $D$ 内の点 $z_{0}$ で $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = f(z_{0})$ が成り立つとき，つまり任意の正の数 $\varepsilon > 0$ に対して適当な $\delta > 0$ が定まって， $\vert z - z_{0}\vert < \delta$ なる全ての $z$ に対して $\vert f(z) - f(z_{0})\vert < \varepsilon$ が成り立つとき， $f(z)$ は $z_{0}$ で連続であるという．

$f(z)$ が領域 $D$ の各点で連続のとき， $f(z)$ は $D$ で連続であるという．

定理 3..2

(1) が $z_{0}$ で連続であれば， $f(z) \pm g(z), f(z)\cdot g(z), f(z)/g(z) \ (ただし g(z_{0}) \neq 0)$ はいずれも $z_{0}$ で連続である．

(2) は $w = w_{0}$ で連続，は $z_{0}$ で連続で， $w_{0} = f(z_{0})$ ならば合成関数は $z_{0}$ で連続である．

例題 3..1 次のに対し， $\lim_{z \to 0}f(z)$ を調べよ．

(1) $f(z) = \frac{\bar{z}}{z}$

(2) $f(z) = \frac{1}{z}$

(3) $f(z) = \frac{z^2}{z}$

解 (1) $f(z) = \frac{\bar{z}}{z} = \frac{x - iy}{x + iy}$ であるから， $z$ が直線 $y = mx$ に沿って $z \to 0$ のとき $f(z) = \frac{1 - im}{1 + im}$ は $m$ の価によって異なる価をとる．よって， $\lim_{z \to 0}f(z)$ は存在しない．

(2) $\lim_{z \to 0}\vert f(z)\vert = \lim_{z \to 0}\frac{1}{\vert z\vert} = + \infty$ ．よって $\lim_{z \to 0}\frac{1}{z} = \infty$

(3) $z \neq 0$ のとき， $f(z) = \frac{z^2}{z} = z$ ．よって $\lim_{z \to 0}f(z) = \lim_{z \to 0}z = 0$ .

練習問題3.1

1. 次の点集合は領域であるかどうか調べよ．

(a): 平面から原点Oを除いた集合
(b): $\{z : \Re{z} > 0\}$
(c): $\{z : \Im {z} \geq 0\}$
(d): $\{z : 1 < \vert z\vert < 2\}$

2. 次の極限値を求めよ．

(a): $\displaystyle{\lim_{z \to i}(z^2 + 2z)}$
(b): $\displaystyle{\lim_{z \to \frac{i}{2}}\frac{(2z-3)(z+i)}{(iz - 1)^2}}$
(c): $\displaystyle{\lim_{z \to 1+i}\frac{z - 1 -i}{z^2 - 2z + 2}}$
(d): $\displaystyle{\lim_{z \to e^{i\pi/4}}\frac{z^2}{z^4 + z + 1}}$

3. 次の関数が連続でない点を求めよ．

(a)
(b)
(c): $\frac{2z}{z+ i}$
(d): $\frac{2z - 3}{z^2 + 2z + 2}$
(e): $\frac{z+1}{z^4 + 1}$
(f): $\frac{z^2 + 4}{z - 2i}$
(g): $f(z) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{z^2 + 4}{z - 2i} & (z \neq 2i)\\ 4i & (z = 2i) \end{array}\right.$