4.2 正項級数

$\sum \frac{1}{n^2} < \infty, \sum \frac{1}{n} = \infty$

1.

(a) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3 + 1} \approx \sum \frac{1}{n^2}$より， $\sum \frac{1}{n^2}$と比較

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^3 + 1}}{\frac{1}{n^{2}}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^3 + 1} = 0$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3 + 1}$は収束．

(b) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3n+2} \approx \sum \frac{1}{n}$より， $\sum \frac{1}{n}$と比較

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{3n+ 2}}{\frac{1}{n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{3n+2} = \frac{1}{3}$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+2}$は発散．

(c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1} \approx \sum \frac{1}{n^2}$より， $\sum \frac{1}{n^2}$と比較

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2 + 1}}{\frac{1}{n^{2}}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = 1$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}$は収束．

(d) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n}$を $\sum \frac{1}{n}$と比較

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{\log{n}}{n}}{\frac{1}{n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\log{n} = \infty$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n}$は発散．

2. (a)

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\; dx = [\log\vert x\vert]_{1}^{\infty-} = \infty$$

また，

$$\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x}\; dx \leq \sum_{n=a}^{\infty} \frac{1}{n}$$

より，発散

(b)

$$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x\log{x}}\; dx = [\log\vert\log\vert x\vert\vert]_{e}^{\infty-} = \infty$$

また，

$$\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x\log{x}}\; dx \leq \sum_{n=a}^{\infty} \frac{1}{n\log{n}}$$

より，発散

(c)

$$\sum_{n=a}^{\infty}\frac{1}{n(\log{n})^{2}} \leq \frac{1}{a(\log{a})^2} + \int_{a}^{\infty} \frac{1}{x(\log{x})^2}\; dx$$

$$= \frac{1}{a(\log{a})^2} - [\frac{1}{\log{x}}]_{a}^{\infty-} < +\infty$$

(d)

$$\int_{a}^{\infty} \frac{\log{x}}{x}\; dx = [\frac{(\log{x})^2}{2}]_{a}^{\infty-} = \infty$$

また，

$$\int_{a}^{\infty}\frac{\log{x}}{x}\; dx \leq \sum_{n=a}^{\infty} \frac{\log{n}}{n}$$

より，発散

3.

(a) $a_{n} = \frac{1}{2^n}$より

$$\rho = \lim_{n \to \infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\vert = \lim_{n \to \infty}\vert\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^{n}}}\vert$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n}}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} < 1$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$は収束．

(b) $a_{n} = \frac{10^n}{n!}$より

$$\rho = \lim_{n \to \infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\vert = \lim_{n \to \infty}\vert\frac{\frac{10^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{10^n}{n!}}\vert$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{10}{n+1} = 0 < 1$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^n}{n!}$は収束．