演習問題


1.
次の線積分を求めよう.

(a) $\displaystyle{\oint_{C}(x^2 - xy^3)dx + (y^2 - 2xy) dy}$, ただし, $C$ は点 $(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)$ を頂点とする正方形.

(b) $\displaystyle{\oint_{C}(2xy^3 - y^2 \cos{x})dx + (1 - 2y \sin{x} + 3x^2 y^2) dy}$, ただし, $C$ は点 $(0,0)$ から点 $\displaystyle{(\frac{\pi}{2},1)}$ を放物線 $2x = \pi y^2$ に沿って進む.

(c) $\displaystyle{\oint_{\partial S} -z^2 dx + xy^2 dy + z dz}$, ただし, $\displaystyle{S : z = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}}$

2.
次の面積分を求めよう.

(a) $\displaystyle{\iint_{S}(x^2 + y^2) dS}$, ただし, $\displaystyle{S : z^2 = 3(x^2 + y^2), 0 \leq z \leq 3}$

(b) $\displaystyle{\iint_{S}{\rm curl}{\bf F} \cdot \hat{\bf n} dS}$, ただし, $\displaystyle{{\bf F} = (x^2 -x,-xy, 3z), S : z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}, z \geq 0}$

(c) $\displaystyle{\iint_{S}{\bf F} \cdot \hat{\bf n} dS}$, ただし, $\displaystyle{{\bf F} = (x-z,x^3 + yz, -3xy^3)}$, $\displaystyle{S : z = 4 - y^2}$, $x = 0, x=3, z = 0$

(d) $\displaystyle{\iint_{S}x dydz + ydzdx + zdxdy}$, ただし, $S$ は 円柱 $\displaystyle{x^2 + y^2 = 9}$ と平面 $z = 0, z= 3$ で囲まれた領域

3.
単連結な閉曲線 $C$ で囲まれた領域の面積$A$ は, $\displaystyle{\frac{1}{2}\oint xdy - ydx}$ で与えられることを示そう.
4.
楕円 $\displaystyle{x = a\cos{\theta}, y = b\sin{\theta}}$ の面積を求めよう.
5.
$f,g$ をスカラー場とするとき次の式が成り立つことを示そう.

$\displaystyle{\iint_{S}f \frac{\partial g}{\partial n} dS = \iiint_{V}(f \nabla^2 g + {\rm grad}f \cdot {\rm grad}g)dV }$ここで $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial n}, \frac{\partial g}{\partial n}}$ はそれぞれ$f,g$$S$ における外向き法線方向の方向微分係数を表わす.