演習問題

1.

次の曲面の法線単位ベクトルと接平面を与えられた点で求めよう．

(a) $${z = (x^2 - y^2) : \mbox{点} (1,1,0)}$$ (b) $${2x - 4y^2 + z^3 = 0 : \mbox{点} (-4,0,2)}$$

(c) $${\cos{x} + \sin{y} + z = 1 : \mbox{点} (0, \pi,0)}$$

2.

中心が原点にある鉄球の密度は次の関数で与えられている． $\rho(x,y,z) = ke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}$

(a) 点 $(1,0,1)$ ではどの方向が密度の増加が一番大きいか求めよう．

(b) 点 $(1,0,1)$ ではどの方向が密度の増加が一番小さいか求めよう．

3.

次のベクトル場Fの力線を求めよう．

(a) ${\bf F}(x,y) = (-2y,x)$ (b) ${\bf F}(x,y) = (x,-y)$