演習問題

1.

次のMacLaurin展開が成り立つことを示そう．

(a) $${\cos{x} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots, (-\infty < x < \infty)}$$

(b) $${\log(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} + \cdots , (-1 < x \leq 1))}$$

(c) $${(1+x)^{\alpha} = 1 + \frac{\alpha}{1!}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n+1)}{n!}x^{n} + \cdots}$$
ただし， $(-1 < x < 1)$

(d) $${\tan^{-1}{x} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \cdots + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots}$$, $(-1 < x < 1)$

2.

次の極限値をLandauの記号を用いて求めてみよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log{(1+x)}}{x}}$$ (b) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x - \sin{x}}{x^3}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x} - 1 - x}{x^2}}$$ (d) $${\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{x}}}$$

3.

(a) 演習問題1(d)より， $\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \cdots$を得ることができる．これを用いて，プログラムを組み$\pi$を小数点以下2桁まで求めてみよう．

(b) $\frac{\pi}{4} = 4\tan^{-1}(\frac{1}{5}) - \tan^{-1}(\frac{1}{239})$と表した式をMachinの公式という．この公式を用いて$\pi$を小数点以下100桁まで求めてみよう．