2.7 解答

2.7

1.

(a) $${f^{(n)}(x) = \cos{(x + \frac{n\pi}{2})}}$$より

$$\vert R_{n}\vert = \vert\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}\vert \l... ...rt^{n} \leq \frac{1}{n!}\vert x\vert^{n} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$$

(b) $${f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} (1 + x)^{-n}}$$より

$$\vert R_{n}\vert = \vert\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}\vert \l... ...\theta x)^{-n}}{n!}\vert\vert x\vert^{n} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$$

(c) $${f^{(n)}(x) = \alpha \cdot (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)(1 + x)^{\alpha -n}}$$より

$$\vert R_{n}\vert = \vert\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^{n}\vert \l... ...x)^{\alpha -n}}{n!}\vert\vert x\vert^{n} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$$

(d) $f(x) = \tan^{-1}{x}$より， $tan(f(x)) = x$. これより， $\frac{f'(x))}{\cos^{2}{f(x)}} = 1$, $f'(x) = \cos^{2}{f(x)}$. ここで，$f''(x)$を求めると， $f''(x) = -2\cos{f(x)}\sin{f(x)}f'(x) = -\sin{2f(x)}f'(x)$. これでは， $f^{(n)}(x)$を求めることができない．そこで，次の方法を用いる．

$S_n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n$とおくと， $xS_n = x + x^2 + \cdots + x^{n+1}$.これより， $S_n - xS_n = 1 - x^{n+1} = (1-x)S_n = 1 - x^{n+1}$. したがって， $S_n = \frac{1 - x^{n+1}}{1-x}$. $-1 < x< 1$より， $n \to \infty$ のとき $x^{n+1} \to 0$．これより， $S = \lim_{n \to \infty}S_n = \frac{1}{1-x}$となる． つぎに， $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n$と表せる．これより，

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}$$

両辺を$x$で積分すると，

$$f(x) = \int \sum_{0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}dx = \sum_{0}^{\infty}(-1)^n \int x^{2n}dx$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}x^{2n+1}$$

この方法には，積分と級数の順序を交換することが可能であるということを用いた．後で，項別積分で学んで下さい．

2.

(a)

$${\lim_{x \to 0}\frac{\log{(1 + x)}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{x - o(x)}{x} = 1}$$

(b)

$${\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin{x}}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x - x + \frac{x^3}{6} + o(x^{3})}{x^3} = \frac{1}{6}}$$

(c)

$${\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}}$$

(d)

$${\lim_{x \to 0}\frac{x^{\alpha}}{e^x} = \lim_{x \to 0}\frac{x^{\alpha}}{1+ x + \frac{x^2}{2} + \cdots } = 0}$$

3. 省略