6.1 解答

6.1

1.

$f(x,y)$の定義域とは関数$f(x,y)$が実数の値をとる$(x,y)$の範囲のことである．

2変数関数のグラフは正面図($x = 0$)，側面図($y = 0$)，等位面($z = c$)を用いて描く． (a)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : x^2 - y^2 \in {\cal R}\} = {\cal R}^2$$

$x = 0$とおくと， $z = f(x,y) = -y^2$より$y-z$平面に放物線． $y = 0$とおくと， $z = f(x,y) = x^2$より$x-z$平面に放物線． $z = c$とおくと， $z = f(x,y) = x^2 - y^2 = c$より，等位面$z = c$に双曲線となる．これを用いて図を描く．

(b)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \frac{x^2}{x^2 + y^2} \in {\cal R}\} = {\cal R}^2 - (0,0)$$

$x = 0$とおくと， $z = f(x,y) = 0$． $y = 0$とおくと， $z = f(x,y) = 1$より$x-z$平面に直線． $z = c$とおくと， $z = f(x,y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} = c$より， $x^2 = c(x^2 + y^2)$． $(1 - c)x^2 - y^2 = 0$より $y = \pm \sqrt{(1-c)}x$

(c)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \log(1 - xy) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : xy < 1\}$$

$z = c$とおくと， $z = f(x,y) = \log(1 - xy) = c$より， $1 - xy = e^{c}$． $y = \frac{1 - e^{c}}{x}$．ここで，$c$の値を変化させながらグラフを描く