4.2 解答

4.2

1. 正項級数 $\sum a_{n}$において， $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \rho$が存在するとき， $0 \leq \rho < 1$ならば， $\sum a_{n}$は収束．

(a)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^{n}}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{3^{n}}{n}\cdot\frac{n+1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}$は収束．

(b)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}\right)^{n}$$

$$= \frac{1}{e} < 1$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}$は収束．

(c)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

$$= e > 1$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!}$は発散．

(d)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{n^2}{2^{n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2}$$

$$= \frac{1}{2}$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}$は収束．

(e)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}}$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{2}{n+1} = 0$$

より $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}$は収束．

(f) 部分和を求めると

$$S_{n} = 1 + 2^{1/3} - 1 + 3^{1/3} - 2^{1/3} + 4^{1/3} - 3^{1/3} + \cdots + (n+1)^{1/3} - n^{1/3} = (n+1)^{1/3}$$

よって

$$\sum (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}) = \lim_{n \to \infty}S_{n} = \lim_{n \to \infty}(n+1)^{1/3} = \infty$$