6.9 陰関数

1.

(a) $F(x,y,\lambda) = x^2 + 3y^2 - \lambda(x^2 + y^2 -1)$ とおくと

$\displaystyle F_{\lambda}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 より x^2 + y^2 -1 = 0$	(9.1)
$\displaystyle F_{x}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 より 2x - 2x\lambda = 0$	(9.2)
$\displaystyle F_{y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 より 6y - 2y\lambda = 0$	(9.3)

$x \neq 0$ のとき式(9.2)より， $\lambda = 1$ ，式(9.3)より $4y = 0$

$4y = 0$

．したがって，

$y = 0$

. これを式(refeq:6-9-1a-1)に代入すると， $x = \pm 1$ . 次に， $x = 0$

$x = 0$

のとき，式(refeq:6-9-1a-1)より， $y = \pm 1$ . したがって，式(9.1),(9.2),(9.3)の解は，

$\displaystyle (x,y) = (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$

このとき，

$f(x,y) = x^2 + 3y^2$

の値は，

$\displaystyle f(1,0) = 1, f(-1,0) = 1, f(0,1) = 3, f(0,-1) = 3$

一方，

$g(x,y) = 0$

は有界閉集合で，この上で $f$

$f$

は連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$\displaystyle f(0,1) = f(0,-1) = 3，$

最小値は

$\displaystyle f(1,0) = f(-1,0) = 1．$