gradientと方向微分(grad and directional derivatives)

$\nabla f(x,y)$ は1変数のときの導関数と同じような性質を持っています．例えば， $\nabla f(x,y)$ と $\nabla g(x,y)$ がともに存在するとき， $\nabla [f(x,y)+g(x,y)], \nabla [\alpha f(x,y)]$,
$\nabla [f(x,y)g(x,y)]$ も存在し，

$$\begin{array}{rl} \nabla [f(x,y)+g(x,y)] =& \nabla f(x,y) + \... ...y)] =& f(x,y) \nabla g(x,y) + g(x,y) \nabla f(x,y) \end{array}$$

となります．

ここでもう一度偏導関数の定義をみましょう． ${\bf x} = (x,y), \hat{\bf i} = (1,0), \hat{\bf j} = (0,1)$ とおくと，

$$f_{x}(x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f({\bf x} + h \hat{\bf i}) - f({\bf x})}{h}$$

$$f_{y}(x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h}$$

$$= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f({\bf x} + h \hat{\bf j}) - f({\bf x})}{h}$$

これから分かるように，偏導関数 $f_{x}，f_{y}$ は

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f({\bf x} + h \hat{\bf u}) - f({\bf x})}{h}$$

の形で与えられます．ここで $\hat{\bf u}$ は $\hat{\bf i}$ や $\hat{\bf j}$ でなければならない理由はありません．そこで $\hat{\bf u}$ を任意の単位ベクトルとしたとき，方向微分(directional derivative) とよばれるものが定義されます．

定義 6..3  

[方向微分] $\hat{\bf u}$ を単位ベクトルとする．次の極限値が存在するとき，その極限値を ${\bf x}$ における $\hat{\bf u}$方向への $f$ の方向微分という．

$$f^{\prime}_{\hat{\bf u}}({\bf x}) = \frac{\partial f}{\partial u} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f({\bf x} + h \hat{\bf u}) - f({\bf x})}{h}$$

$\hat{\bf u}$ は単位ベクトルより $\hat{\bf u} = (\cos{\theta},\sin{\theta})$ とおくこともできます．ただし $\theta$ はx軸の正方向と $\hat{\bf u}$のなす角です．

方向微分とgradientの間には次の定理で与えられるように密接な関係があります．

定理 6..4  

$f$ が ${\bf x}$ で 全微分可能ならば

$$f^{\prime}_{\hat{\bf u}}({\bf x}) = \nabla f({\bf x}) \cdot \hat{\bf u}$$

証明 $f$ が ${\bf x}$ で全微分可能より $\nabla f({\bf x})$ が存在し，

$$f({\bf x} + h \hat{\bf u}) - f({\bf x}) = \nabla f({\bf x}) \cdot h \hat{\bf u} + o(h \hat{\bf u})$$

となる．両辺を $h$ で割ると，

$$\frac{f({\bf x} + h \hat{\bf u}) - f({\bf x})}{h} = \nabla f({\bf x}) \cdot \hat{\bf u} + \frac{o(h\hat{\bf u})}{h}$$

ここで

$$\vert\frac{o(h\hat{\bf u})}{h}\vert = \frac{\vert o(h\hat{\bf u})... ...rt} = \frac{\vert o(h\hat{\bf u})\vert}{\vert h\hat{\bf u}\vert} \rightarrow 0$$

より

$$\frac{o(h\hat{\bf u})}{h} \rightarrow 0$$

よって，

$$\frac{f({\bf x} + h \hat{\bf u}) - f({\bf x})}{h} \rightarrow \nabla f({\bf x}) \cdot \hat{\bf u} \ensuremath{ \blacksquare}$$

ここで $\nabla f({\bf x}) \cdot \hat{\bf u} = \Vert \nabla f({\bf x})\Vert \Vert\hat{\bf u}\Vert \cos{\theta}$ より，方向微分は $\hat{\bf u}$の方向が $\nabla f({\bf x})$ と同じ方向になったとき一番大きく， $\nabla f({\bf x})$ と直交したとき 0 になります．これを等高線図6.5 で考えてみましょう．

図 6.5: 等高線図

$f(x,y) = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}$ のgradientを計算すると

$$\nabla f(x,y) = (\frac{-x}{\sqrt{1 - (x^2 + y^2)}}, \frac{-y}{\sqrt{1 - (x^2 + y^2)}})$$

つまりgradientは等高線に直交しているベクトルです．そこで方向がgradientと同じならば方向微分は等高線に対して垂直な方向での変化率を求めることになり，確かに変化率が一番大きくなることが分かります．

例題 6..16  

点 $${(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}$$ で $${f(x,y) = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}}$$ の ${\bf a} = (-1,1)$方向への方向微分を求めてみましょう．

解 まず，方向ベクトル $\hat{\bf u}$ は単位ベクトルでなければならないので， $\hat{\bf u}$ を求めると，

$$\hat{\bf u} = \frac{\bf a}{\Vert{\bf a}\Vert} = \frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}$$

また，

$$f^{\prime}_{\hat{\bf u}}({\bf x}) = \nabla f({\bf x}) \cdot \hat{\bf u}$$

$$= \left(\frac{-x}{\sqrt{1 - (x^{2} + y^{2})}}, \frac{-y}{\sqrt{1 - (x^{2} + y^{2})}}\right) \cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}$$

より

$$f^{\prime}_{\hat{\bf u}}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{-1/2}{\sqrt{1/2}}, \frac{-1/2}{\sqrt{1/2}}\right) \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

$$= \frac{1/2} - \frac{1/2} = 0$$

となります． $\blacksquare$

確認問題

1.

次の関数を $(1,2)$ で $(1, -1)$ の方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = x^2 + y^{2}}$$ (b) $${f(x,y) = xe^{y} - ye^{x}}$$

2.

次の関数を $(1,0)$ で $${\frac{\pi}{3}}$$方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = \frac{2x}{(x - y)}}$$ (b) $${f(x,y) = \log{(x^2 + y^2)}}$$

3.

次の関数を $(0,1)$ で $(-1,3)$方向に微分しよう．また方向微分が最大になるような方向単位ベクトルを求めよう．

(a) $${f(x,y) = (x+1)\log{y}}$$ (b) $${f(x,y) = (x-1)y^{2}e^{xy}}$$

演習問題

1.

次の関数を $(0,0)$ で $(1, \sqrt{3})$ の方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = x^2 + x + y}$$ (b) $${f(x,y) = \cos{x} + \sin{y}}$$

2.

次の関数を $(1, -1)$ で $${\frac{2 \pi}{3}}$$方向に微分しよう．

(a) $${f(x,y) = \frac{x^2 y}{x - y}}$$ (b) $${f(x,y) = \log{(x^2 + y^2)}}$$

3.

ある金属板の各点における温度は次の式で与えられる．

$$T(x,y) = e^{x}\cos{y} + e^{y}\cos{x}$$

(a) 点$(0,0)$からどの方向に進むと，温度上昇が最も大きいか．また，そのときの温度の変化率を調べよう．

(b) 点$(0,0)$からどの方向に進むと，温度下降が最も大きいか．また，そのときの温度の変化率を調べよう．