ベクトル関数(vector functions)

実数 $R$ の部分集合 $D$ に属する各点 $t$ に対して，実関数 $x(t),y(t),z(t)$ が与えられるとき，1つのベクトル $(x(t),y(t),z(t))$ を考えることができます．このベクトル ${\bf F}(t)$ を $D$ から $R^{3}$ への1変数ベクトル値関数(vector-valued function)または ベクトル関数(vector function) といい，

$${\bf F}(t) = (x(t),y(t),z(t))$$

または

$${\bf F}(t) = x(t)\hat{\bf i} + y(t)\hat{\bf j} + z(t)\hat{\bf k}$$

で表わします．

しばしば ${\bf F}(t)$ は幾何学的に実軸 $t$ から原点と点 $(x(t),y(t),z(t))$ を結ぶベクトルへの写像として扱われます．

例題 5..1  

$${{\bf F}(t) = t\cos{t} \hat{\bf i} + t\sin{t} \hat{\bf j} + t^2 \hat{\bf k}}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ の軌跡を求めてみましょう．

解 ${\bf F}(t)$ の成分は $x = t\cos{t}, y = t\sin{t}, z = t^2$ であるから， $z = x^2 + y^2$ となり， ${\bf F}(t)$ の軌跡 $(x(t),y(t),z(t))$ は放物面 $z = x^2 + y^2$ 上にあることが分かります． $\blacksquare$

定義 5..1  

ベクトル関数 ${\bf F}(t)$ において， $t \rightarrow t_{0}$ のとき， ${\bf F}(t) \rightarrow {\bf L}$ ならば， ${\bf F}(t)$ の極限値は ${\bf L}$ であるといい，次のように表わす．

$$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\bf F}(t) = {\bf L}$$

極限値の定義は1変数関数のときと同じなので，たぶん連続性の定義も1変数関数のときと同じになると期待するでしょう．実際そのとうりです．

定義 5..2  

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\bf F}(t) = {\bf F}(t_{0})$ が成り立つとき，ベクトル関数 ${\bf F}(t)$ は $t = t_{0}$ で連続であるという．また，区間 $[a,b]$ のすべての $t$ で連続なとき， ${\bf F}(t)$ は区間 $[a,b]$ で連続であるといい， ${\bf F}(t) \in C[a,b]$ と表わす．

このように1変数関数における様々な定義はベクトル関数へと継承されます．

定義 5..3  

ベクトル関数 ${\bf F}(t)$ は $t = t_{0}$ において，

$$\lim_{t \rightarrow t_{0}}\frac{{\bf F}(t) - {\bf F}(t_{0})}{t - t_{0}} = {\bf A}$$

が存在するとき $t = t_{0}$ で微分可能(differentiable) であるという．また，この極限値 ${\bf A}$ を点 $t_{0}$ における微分係数といい， ${\bf F}^{\prime}(t_{0})$ で表わす．

次の節で学びますがベクトル ${\bf F}^{\prime}(t_{0})$ の方向は， ${\bf F}(t)$ によって描かれる曲線の $t = t_{0}$ での接線方向になります．図5.1参照

ベクトルの和やスカラー倍がそれぞれの対応する成分の和やスカラー倍で定義されたように，ベクトル関数の極限値，微分係数，不定積分の計算は，ベクトル関数の成分の極限値，微分係数，不定積分より求めることができます．

定理 5..1  

${\bf F}(t) = (x(t),y(t),z(t))$ とすると，次のことが成り立つ．

$${(a) \lim_{t \rightarrow t_{0}}{\bf F}(t) = (\lim_{t \rightarrow t_{0}}x(t),\lim_{t \rightarrow t_{0}}y(t),\lim_{t \rightarrow t_{0}}z(t))}$$

$${(b) \ {\bf F}(t) \ \mbox{は連続} \ \Leftrightarrow x(t), y(t), z(t) \ \mbox{が共に連続}}$$

$${(c) {\bf F} \in C'[a,b] \Rightarrow {\bf F}^{\prime}(t_{0}) = (x^{\prime}(t_{0}),y^{\prime}(t_{0}),z^{\prime}(t_{0}))}$$

$${(d) {\bf F} \in C[a,b] \Rightarrow \int_{a}^{b}{\bf F}(t) dt = (\int_{a}^{b} x(t)dt, \int_{a}^{b} y(t)dt, \int_{a}^{b} z(t)dt)}$$

証明 (a)

$$\vert{\bf F}(t) - {\bf L}\vert = \vert(x(t),y(t),z(t)) - (l_{1},l_{2},l_{3})\vert$$

$$= \vert(x(t) - l_{1}, y(t) - l_{2}, z(t) - l_{3})\vert$$

$$= \sqrt{(x(t) - l_{1})^2 + (y(t) - l_{2})^2 + (z(t) - l_{3})^2 }$$

より， $x(t) \rightarrow l_{1}, y(t) \rightarrow l_{2}, z(t) \rightarrow l_{3}$ ならば， ${\bf F}(t) \rightarrow {\bf L}$．また， ${\bf F}(t) \rightarrow {\bf L}$ ならば，

$$\sqrt{(x(t) - l_{1})^2 + (y(t) - l_{2})^2 + (z(t) - l_{3})^2 } \rightarrow 0$$

ここで，平方根の中はすべて2乗の和であることに注意すると

$$(x(t) - l_{1})^2 \rightarrow 0, (y(t) - l_{2})^2 \rightarrow 0, (z(t) - l_{3})^2 \rightarrow 0$$

となる．よって $x(t) \rightarrow l_{1}, y(t) \rightarrow l_{2}, z(t) \rightarrow l_{3}$ より，

$$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\bf F}(t) = (\lim_{t \rightarrow t_{0}... ...ghtarrow t_{0}}y(t),\lim_{t \rightarrow t_{0}}z(t)) \ensuremath{ \blacksquare}$$

(b)，(c)，(d)の証明は演習問題にまわします．

例題 5..2  

$${{\bf F}(t) = (t^{2},t,t^{3})}$$ のとき， ${\bf F}^{\prime}(t)$ を求めてみましょう．

解 それぞれの成分を微分することにより

$${\bf F}^{\prime}(t) = (2t,1,3t^{2}) \ensuremath{ \blacksquare}$$

${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が $t$ について微分可能なベクトル関数ならば，次のことが成り立ちます．

$$(1) ({\bf F}(t) \pm {\bf G}(t))^{\prime} = {\bf F}^{\prime}(t) \pm {\bf G}^{\prime}(t)$$

$$(2) (c {\bf F}(t))^{\prime} = c {\bf F}^{\prime}(t)$$

$$(3) ({\bf F}(t) \cdot {\bf G}(t))^{\prime} = {\bf F}^{\prime}(t) \cdot {\bf G}(t) + {\bf F}(t) \cdot {\bf G}^{\prime}(t)$$

$$(4) ({\bf F}(t) \times {\bf G}(t))^{\prime} = {\bf F}^{\prime}(t) \times {\bf G}(t) + {\bf F}(t) \times {\bf G}^{\prime}(t)$$

例題 5..3  

ベクトル関数 ${\bf F}(t)$ の大きさ $\Vert{\bf F}(t)\Vert$ が定数のとき， ${\bf F}(t)$ と ${\bf F}^{\prime}(t)$ は全ての $t$ において直交することを示してみましょう．

解 $\Vert{\bf F}(t)\Vert = c$ より， $\Vert{\bf F}(t)\Vert^2 = {\bf F}(t) \cdot {\bf F}(t) = c^{2}$. よってベクトル関数の微分法より

$$({\bf F}(t) \cdot {\bf F}(t))^{\prime} = 2{\bf F}^{\prime}(t) \cdot {\bf F}(t) = 0$$

したがって，内積が0より ${\bf F}(t)$ と ${\bf F}^{\prime}(t)$ は直交します． $\blacksquare$

確認問題

1.

次の問に答えよう．

(a) $${{\bf F}(t) = (\cos{t}, \sin{t})}$$ のとき， $${{\bf F}^{\prime}(t)}$$と $${\Vert{\bf F}^{\prime}(t)\Vert}$$を求めよう．

(b) $${{\bf F}(t) = (1+2t, 3-t,2+3t)}$$ のとき， $${{\bf F}^{\prime}(t)}$$と $${\Vert{\bf F}^{\prime}(t)\Vert}$$を求めよう．

(c) $${{\bf F}'(t) = (1, 2t)}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

(d) $${{\bf F}'(t) = (e^{t}, \sqrt{2}, e^{-t})}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

演習問題

1.

次の問に答えよう．

(a) $${{\bf F}(t) = (\sin{t}, \cos^{2}{t}, t^{2})}$$ のとき， $${{\bf F}^{\prime}(t)}$$ を求めよう．

(b) $${{\bf F}^{\prime}(t) = (\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{1}{1 + t^2}, \tan{t})}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

(c) ${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が $t$ について微分可能なベクトル関数のとき，

$$({\bf F} \cdot {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \cdot {\bf G} + {\bf F} \cdot {\bf G}^{\prime}$$

が成り立つことを証明しよう．

(d) ${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が $t$ について微分可能なベクトル関数のとき，

$$({\bf F} \times {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \times {\bf G} + {\bf F} \times {\bf G}^{\prime}$$

が成り立つことを示そう．

(e) 定理5.1(b)，(c)，(d)を証明しよう．