正項級数(nonnegative term series)

前節で見たように，級数の収束や発散を支配するのは，項の番号$n$が大きくなってからです．そこで， $${\sum_{n=l}^{\infty}a_{n}}$$と表す代わりに， $\sum a_{n}$と表すことにします．

すべての項が正である級数を 正項級数(nonnegative term series) といいます．第n部分和を $S_{n}$ とすれば， $S_{n}$ は単調増加であり， $\sum a_{n}$ は収束するか $\sum a_{n} = \infty$ かのどちらかです．したがって， $\sum a_{n}$ が収束するのと $\sum a_{n} < \infty$ とは同等であることがわかります．先に示した無限等比級数と一般調和級数は正項級数の代表的な例です．

さて級数の収束，発散を調べるのに，よく性質のわかっている別の級数と比較して調べることがあります．

定理 4..4  

[比較判定法] $2$つの正項級数 $\sum a_{n}, \sum b_{n}$ において, 有限な極限値

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \rho$$

が存在するとき，

$(1) 0 < \rho < \infty$ ならば， $${\sum a_{n} < \infty \Leftrightarrow \sum b_{n} < \infty}$$

$(2) \rho = 0$ ならば， $${\sum b_{n} < \infty \Rightarrow \sum a_{n} < \infty}$$

$(3) \rho = \infty$ ならば， $${\sum b_{n} = \infty \Rightarrow \sum a_{n} = \infty}$$

証明 (1) $${\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \rho, 0 < \rho < \infty}$$ より $n > N$ ならば， $${r_{1} < \frac{a_{n}}{b_{n}} < r_{2}},$$ $0 < r_{1} < \rho < r_{2} < \infty$ となる整数 $N$ が存在する．よって $r_{1}b_{n} < a_{n} < r_{2} b_{n}$．これより

$$\sum a_{n} = M < \infty \Rightarrow \sum b_{n} < \sum \frac{a_{n}}{r_{1}} = \frac{1}{r_{1}} \sum a_{n} = \frac{M}{r_{1}} < \infty$$

また，

$$\sum b_{n} = M < \infty \Rightarrow \sum a_{n} < \sum r_{2}b_{n} = r_{2}\sum b_{n} = r_{2}M < \infty$$

よって

$$\sum a_{n} < \infty \Leftrightarrow \sum b_{n} < \infty$$

(2)， (3)も同様にして証明できます． $\blacksquare$

例題 4..4  

次の級数の収束，発散は比較判定法を用いて調べてみましょう．

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{\pi}{n}}$$

解 $${\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\pi}{n}} = \infty}$$ と比較します．

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sin{\pi/n}}{\pi/n} = 1$$

よって，

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{\pi}{n}} = \infty \ensuremath{ \blacksquare}$$

定理 4..5  

[積分判定法] $f(x)$ を区間 $[N,\infty) (N$は自然数$)$ で連続な狭義の単調減少関数で， $f(x) \geq 0$ であるとする．このとき

$$a_{n} = f(n) (n = N,N+1,\ldots)$$

によって定義される数列 $\{a_{n}\}$ に対して

$$\int_{N}^{\infty}f(x)dx < \infty \Longleftrightarrow \sum a_{n} < \infty$$

$$\int_{N}^{\infty}f(x)dx = \infty \Longleftrightarrow \sum a_{n} = \infty$$

証明 $f(x)$ は $x \geq N$ で狭義の単調減少関数であるから， $n > N$ に対しては

$$\int_{n}^{n+1}f(x)dx < \int_{n}^{n+1}f(n)dx = f(n),$$

$$\int_{n}^{n+1}f(x)dx > \int_{n}^{n+1}f(n+1)dx = f(n+1)$$

したがって

$$\int_{N+1}^{\infty}f(x)dx \leq \sum_{n = N+1}^{\infty} f(n) \leq \int_{N}^{\infty}f(x)dx \leq \sum_{n=N}^{\infty}f(n) \ensuremath{ \blacksquare}$$

図 4.1: 積分判定法

例題 4..5  

次の級数の収束，発散は積分判定法を用いて調べてみましょう．

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\log{n})^{2}}$$

解 $${f(x) = \frac{1}{x(\log{x})^{2}}}$$ とおくと

$$\int_{2}^{\infty}f(x)dx = \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x (\log{x})^2} dx \left(t = \log{x}, dt = \frac{1}{x}dx \right)$$

$$= \int_{\log{2}}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}dt = \left[-\frac{1}{t}\right ]_{\log{2}}^{\infty-0} = \frac{1}{\log{2}} < \infty$$

よって積分判定法より

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\log{n})^{2}} < \infty \ensuremath{ \blacksquare}$$

次に，フランスの数学者 Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) によって示された正項級数が収束するための十分条件について学びます．

定理 4..6  

[D'Alembertの判定法] 正項級数 $\sum a_{n}$ において

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \rho$$

が存在するとき，

$(1) 0 \leq \rho < 1$ ならば， $${\sum a_{n} < \infty}$$

$(2) \rho > 1$ ならば， $${\sum a_{n} = \infty}$$

証明 $(1)$ の証明． $\rho < r <1$ であるような $r$ をとり，この $r$ に対して適当な自然数 $N$ をとると， $n \geq N$ であるすべての自然数 $n$ に対して，

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < r$$

が成り立つようにできます．したがって，

$$a_{N+m} = a_{N}\cdot\frac{a_{N+1}}{a_{N}}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdots\frac{a_{N+m}}{a_{N+m-1}} < a_{N}\cdot r^{m}$$

よって第n部分和 $S_{n}$ は

$$S_{n} = a_{1} +a_{2}+\cdots+a_{N-1}+a_{N}+\cdots+a_{n}$$

$$< a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{N-1}+a_{N}(1+r+\cdots+r^{n-N})$$

$$< a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{N-1}+\frac{a_{N}}{1-r}.$$

これより $\{S_{n}\}$ は上に有界な単調増加数列となり収束します．

$(2)$ の証明は各自試みて下さい． $\blacksquare$

例題 4..6  

D'Alembertの判定法を用いて次の級数は収束することを示してみましょう．

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} (x > 0)$$

解

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \right... ...ty}\frac{x^{n+1}n!}{x^{n}(n+1)!} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{x}{n+1} = 0$$

よって，D'Alembertの判定法により，この級数は収束します． $\blacksquare$

確認問題

1.

次の級数の収束，発散を比較判定法を用いて判定しよう．

(a) $${\sum \frac{n}{n^{3} + 1}}$$ (b) $${\sum \frac{1}{3n+2}}$$ (c) $${\sum \frac{1}{n^{2}+1}}$$ (d) $${\sum \frac{\log{n}}{n}}$$

2.

次の級数の収束，発散を積分判定法を用いて判定しよう．

(a) $${\sum \frac{1}{n}}$$ (b) $${\sum \frac{1}{n\log{n}}}$$ (c) $${\sum \frac{1}{n(\log{n})^{2}}}$$ (d) $${\sum \frac{\log{n}}{n}}$$

3.

次の級数の収束，発散をダランベールの判定法を用いて判定しよう．

(a) $${\sum \frac{1}{2^{n}}}$$ (b) $${\sum \frac{10^{n}}{n!}}$$

演習問題

1.

次の級数の収束，発散を判定しよう．

(a) $${\sum \frac{n}{3^{n}}}$$ (b) $${\sum \frac{n!}{n^{n}}}$$ (c) $${\sum \frac{n^{n}}{n!}}$$ (d) $${\sum \frac{n^2}{2^n}}$$ (e) $${\sum \frac{2^n}{n!}}$$

(f) $${\sum (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})}$$