定積分の計算(calculation of integrals)

不定積分の置換積分と部分積分についてすでに学んだので，ここでは定積分の置換積分と部分積分についての話から始めます．

定理 3..11  

[置換積分法] $x = \phi(t) (a \leq t \leq b)$ のとき次の式が成り立つ．

$$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)dx = \int_{a}^{b}f\{\phi(t)\}\phi^{\prime}(t)dt$$

証明 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数とすると， $F(\phi(t))$ は $f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)$ の原始関数である．したがって，微分積分学の基本定理より，

$$\int_{a}^{b}f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)dt = F(\phi(b))-F(\phi(a)) = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)dx \ensuremath{ \blacksquare}$$

定理 3..12  

[部分積分法] $u = f(x),v = g(x)$ について次の式が成り立つ．

$$\int_{a}^{b} udv = \left[uv\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu$$

証明 $\int_{a}^{b}udv + \int_{a}^{b}vdu = \left[uv\right]_{a}^{b}$ $\blacksquare$

例題 3..23  

次の定積分の値を求めてみましょう．

$$\int_{0}^{1}3x^{2}(x^{3}+1)^{4}dx$$

解 $t = x^3 + 1$ とおくと， $dt = 3x^2 dx$ となるので，被積分関数は $t^4$ で表わすことができます．また積分範囲は $x : 0 \longrightarrow 1$ のとき， $t = x^3 + 1$ なので $t : 1 \longrightarrow 2$ となります．よって

$$\int_{0}^{1}3x^{2}(x^{3}+1)^{4}dx = \int_{1}^{2}t^4 dt = \left[\f... ... \right ]_{1}^{2} = \frac{32 - 1}{5} = \frac{31}{5} \ensuremath{ \blacksquare}$$

定積分でよく使われる積分に次のものがあります．

定理 3..13  

　
$(1) f(x)$ が偶関数ならば， $${\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx}$$

$(2) f(x)$ が奇関数ならば， $${\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0}$$

$${(3) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})dx}$$

$${(4) \ I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{x}dx = \int_{0}^{\... ...{2} & (n \mbox{偶数}) \\ \frac{(n-1)!!}{n!!} & (n \mbox{奇数}) \end{array}\right.}$$ Wallisの公式

ただし， $${n!! = \left\{\begin{array}{ll} n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdots4\cdot2... ...{偶数})\\ n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdots3\cdot1 & (n \mbox{奇数}) \end{array}\right.}$$

ここで， $f(x)$ が 偶関数(even function) とは $x \in D(f)$ において， $f(-x) = f(x)$ が成り立つことです．これを $f(x)$ のグラフで考えるとy軸対称となります．また， $f(x)$ が 奇関数(odd function) とは $x \in D(f)$ において， $f(-x) = -f(x)$ が成り立つことです．これを $f(x)$ のグラフで考えると原点対称となります．

証明
(1) $\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a}f(x) dx$．と表わせるので， $f(x) = f(-x)$ より

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{-a}^{0}f(-x)dx + \int_{0}^{a}f(x) dx$$

ここで， $t = -x$ とおくと $dt = - dx$．また， $x : -a \rightarrow 0$ より $t = -x : a \rightarrow 0$．よって $\int_{-a}^{0}f(-x)dx = -\int_{a}^{0}f(t)dt = \int_{0}^{a}f(t) dt$．これより，

$$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2 \int_{0}^{a}f(x) dx$$

(2)，(3)の証明は各自に任せます．
(4) 演習問題3.8-2より $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}{x}dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}{x}dx$ なので $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}{x}dx$ について証明しよう．
$n \geq 2$ のときは，

$$I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}{x}\sin{x}dx = -\left[\sin^{n-1... ...]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x}dx$$

$$= (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}{x}(1-\sin^{2}{x})dx = (n-1)(I_{n-2} - I_{n})$$

よって漸化式

$$I_{n} = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

を得ます．ところで，

$$I_{0} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx = \frac{\pi}{2}, I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}dx = 1$$

より，

$$I_{n} = \frac{I_{n}}{I_{n-2}}\frac{I_{n-2}}{I_{n-4}}\cdots\frac{I_{2}}{I_{0}}I_{0}$$

$$= \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} = \frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2},\ n {\rm 偶数}$$

$$I_{n} = \frac{I_{n}}{I_{n-2}}\frac{I_{n-2}}{I_{n-4}}\cdots\frac{I_{3}}{I_{1}}I_{1}$$

$$= \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} = \frac{(n-1)!!}{n!!}, \ n {\rm 奇数}\ \ensuremath{\ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の定積分の値を求めよう．

(a) $${\int_{-2}^{2}\sin{x} dx}$$ (b) $${\int_{-1}^{1} \sin^{3}{x} dx}$$ (c) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3{x}dx}$$ (d) $${\int_{0}^{\pi}\cos{2x} dx}$$

(e) $${\int_{-1}^{1}\sqrt{x+1}dx}$$

演習問題

1.

次の定積分の値を求めよう．

(a) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}{x}\sin{x}dx}$$ (b) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sqrt{1+\cos{x}}} dx}$$ (c) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}{x}dx}$$

(d) $${\int_{-1}^{1}x^2 \cos{x} dx}$$ (e) $${\int_{0}^{\pi}\cos{nx}dx}$$ (n 整数) (f) $${\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}\;dx}$$

(g) $${\int_{0}^{1}xe^{x} dx}$$

2.

$${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{x}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}{x}dx}$$ を示そう．

3.

関数 $${F(x) = \int_{-x}^{x}f(t)dt}$$について以下のことについて答えよう．ただし，$f(x)$は区間 $(-\infty,\infty)$で微分可能な関数とする．

(a) $F(x)$は奇関数であることを示そう．

(b) $f(x)$が偶関数ならば$f'(x)$は奇関数であることを示そう．

(c) $f(x) = \int_{-x}^{x}f(t)dt$ならば$f(x) = 0$となることを示そう．

(d) $f(x)$は偶関数と奇関数の和で表せることを示そう．