３次の対称群 $S_{3}$

例題 1..6 ${\mathcal N}_{3} = \{1,2,3\}$ から ${\mathcal N}_{3}$ への全単射全体の集合を $S_{3}$ とおくと $S_{3}$ は写像の合成に関して群になる．

解 (G1) $\forall \rho, \sigma, \tau \in S_{3},\ \rho \cdot (\sigma \cdot \tau) = (\rho \cdot \sigma) \cdot \tau$
(G2) $\exists i \in S_{3}, \forall \sigma \in S_{3}, i \cdot \sigma = \sigma \cdot i = \sigma$
(G3) $\forall \sigma \in S_{3}, \exists \sigma^{-1}, \sigma \cdots \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \cdot \sigma = i$

$\sigma$ を $S_{3}$ の元とする． $\sigma$ は全単射であるから， $\sigma(1) = i,\ \sigma(2) = j,\ \sigma(3) = k$ とすると， $(i,j,k)$ は $(1,2,3)$ の順列の１つであって，写像 $\sigma$ はによって決まる．そこで， $\sigma$ を次のように表す．

$\displaystyle \sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ \sigma(1) & \sigma... ...ay}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ i & j & k \end{array}\right)$

$S_{3}$ の全ての元に名前をつける． $\begin{displaymath}\begin{array}{l} \rho_{0} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & ... ...rray}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)\end{array}\end{displaymath}$

問 1..10 $S_{3}$ の群表を求めよ．