発散

演習問題3.5

基本公式 $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$とすると，
(1) $\nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}$
(2) $\nabla r^{n} = nr^{n-1}\nabla r = nr^{n-2}\boldsymbol{r}$
(3) $\nabla \cdot(\phi\boldsymbol{A})= (\nabla \phi) \cdot\boldsymbol{A} + \phi \nabla \cdot\boldsymbol{A}$

1.

次のものを求めよ．

(1) $\nabla \cdot(2x^2 z\boldsymbol{i} - xy^2 z \boldsymbol{j} + 3yz^2 \boldsymbol{k})$ (2) $\nabla^2(3x^2 z - y^2 z^3 + 4x^2 y)$

(3) $\nabla(\nabla \cdot\boldsymbol{F}), \boldsymbol{F} = (3x^2 y - z)\boldsymbol{i} + (xz^{3} + y^{4})\boldsymbol{j} - 2x^2 z^2 \boldsymbol{k}$

2.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．次のスカラーを求めよ．

(1) $\nabla \cdot(r\nabla r^{-3})$ (2) $\nabla^{2}\left\{\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\right)\right\}$

3.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, {\bf w}$を定ベクトルとする．

$$\nabla \cdot({\bf w} \times \boldsymbol{r}) = 0$$

を証明せよ．

4.

スカラー場 $\phi, \psi$について次の式を証明せよ．

(1) $\nabla^2(\phi \psi) = \phi \nabla^2 \psi + 2(\nabla \phi)\cdot(\nabla \psi) + \psi \nabla^2 \phi$

(2) $\nabla \cdot(\phi \nabla \psi) = (\nabla \phi) \cdot(\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi$

(3) $\nabla \cdot(\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) = \phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi$

5.

$\nabla \phi = 2xyz^3 \boldsymbol{i} + x^2 z^3 \boldsymbol{j} + 3x^2 y z^2 \boldsymbol{k}$を満足する $\phi = \phi(x,y,z)$を求めよ．ただし， $\phi(1,-2,2) =4$とする．

6.

スカラー場$U,V$について次の式を証明せよ．

$$\nabla \cdot\{(\nabla U) \times (\nabla V)\} = 0$$

7.

曲線 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) = x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}$とスカラー場 $\phi = \phi(x,y,z)$について，この曲線に沿っての$\phi$の微分係数 $\frac{d\phi(x(t),y(t),z(t))}{dt}$は $\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\nabla \phi$に等しい．このことを証明せよ．

8.

関数 $\phi(x,y,z,t)$に $x = x(t), y = y(t), z = z(t)$を代入して得られる$t$の関数$\phi(t)$の導関数は $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \cdot\nabla \phi$であることを証明せよ．ただし， $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$.