確率の公理(Axiom of probability)

事象$A$と事象$B$とが同じであるとき，$A = B$と書く．事象$A$が事象$B$に含まれているとき， $A \subset B$と書く．

• 全事象 標本空間$\Omega$自身で表される事象
• 和事象 事象$A$，$B$の少なくとも一方が起こる事象．$A \cup B$で表す．
• 積事象 事象$A$，$B$がともに起こる事象．$A \cap B$で表す．
• 余事象 事象$A$に対して$A$が起こらない事象． $\overline{A}$で表す．
• 空事象 決して起こらない事象．$\phi$で表す．

事象の演算について，集合の場合と同様に次の関係式が成り立つ．

1. 全事象を$\Omega$，空事象を$\phi$とするとき，
   $$\Omega = \Omega \cup \phi, \phi = \Omega \cap \phi$$

2. 任意の事象$A$に対して
   $$A \cap {\overline A} = \phi, A \cup {\overline A} = \Omega$$

3. 任意の事象$A,B,C$に対して
   

   $$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

   $$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

   
   
4. 任意の事象$A,B$に対して（DeMorganの法則)
   $$(\overline {A \cup B}) = {\overline A} \cap {\overline B}, \overline {(A \cap B)} = {\overline A} \cup {\overline B}$$

5. 任意の事象$A$，$B$，$C$に対して，
   $$(A \cap B) \cap (A \cap {\overline B}) = \phi, A = (A \cap B) \cup (A \cup {\overline B})$$

定理 2..1  

[確率の公理(probability axiom)] 標本空間$\Omega$の任意の事象$A$に対して，次の公理を満足する実数$P(A)$が定まるとき，$P(A)$を事象$A$の確率といい，確率が考えられる事象を確率事象という．

1. $$0 \leq P(A) \leq 1$$

2. $$P(\Omega) = 1, P(\phi) = 0$$

3. 事象の列 $A_{1},A_{2},\ldots,A_{i} \ldots$のいずれの２つも互いに排反であれば，
   $$P(\cup_{i=1}^{\infty} A_{i} = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})$$
   が成り立つ．この性質を確率に関する完全加法性という．

条件確率(conditional probability) 事象$A$を固定して，事象$B$の関数として

$$P(B\vert A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

と定義すると，この関数は確率の公理を満たす．これを事象$A$が起こったときの事象$B$の条件付き確率(conditional probability)という．

事象 $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$が互いに排反であり，

$$A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n} = \Omega$$

ならば，任意の事象$B$に対して

$$B = B \cap \Omega = (B \cap A_{1}) \cup (B \cap A_{2} \cup \cdots \cup (B \cap A_{n})$$

と表せる．よって，

$$P(B) = P(B \cap A_{1}) + P(B \cap A_{2}) + \cdots + P(B \cap A_{n})$$

ここで，条件付き確率より， $P(B \cap A_{i}) = P(A_{i})P(B \vert A_{i})$となるので，

$$P(B) = P(A_{1})P(B \vert A_{1}) + P(A_{2})P(B \vert A_{2}) + \cdots P(A_{n})P(B \vert A_{n})$$

で求めることができる．これをBayesの定理という．

演習問題 2..2  

1. $A$ = [さいころを4回投げて少なくとも1回6の目がでる]. $B$ = [2個のさいころを同時に24回投げて少なくとも1回2個とも6の目がでる] とするとき，

(a)

$P(A)$を求めよう．

(b)

$P(B)$を求めよう．

2. ある患者がある種の症状を訴えてきた．医師の経験から，同じ年齢層の人がその症状を訴えるとき，約5%の人がガンであることを知っている．一方，ある精密検査によって真のガン患者に対しては85%の陽性反応を示し，ガン患者でない人にも5%の陽性反応を示す．もしある患者がその精密検査の結果陽性反応を示した場合，その患者がガン患者である確率を求めよう．

3. 次の関係を示そう．

(a)

$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$

(b)

$P(\overline{A \cap B}) = P(\overline{A} \cup \overline{B})$

(c)

$B$と$C$が互いに排反ならば， $P((B \cup C) \mid A) = P(B \mid A) + P(C \mid A)$