確率変数の平均値と分散(Expectation and Variance)

確率変数$X$に対して，次の式で定義される値$E(X)$を$X$の平均値(Mean)または期待値(Expectation)といい，$V(X)$を$X$の分散という。

離散型の場合 $p_{i} = P(X = i)$

1. $E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \cdots + x_{k}p_{k} = \sum_{i=1}^{k}x_{i}p_{i}$
2. $V(X) = (x_{1} - E(X))^{2}p_{1} + (x_{2}-E(X))^{2}p_{2} + \cdots + (x_{k}-E(X))^{2}p_{k} = \sum_{i=1}^{k}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}$

連続型の場合 $P(X \leq x) = F(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$

1. $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
2. $V(X) = \int_{-\infty}^{\infty}(x - E(x))^{2}f(x)dx$

$aX + b$の期待値と分散

$$E(aX + b) = \int_{-\infty}^{\infty}(ax + b)f(x)dx = a\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx + b\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$

$$= aE(X) + b \hskip 1cm (\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1に注意)$$

$$V(aX + b) = \int_{-\infty}^{\infty}[(ax + b) - (aE(x) + b)]^2 f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty}a^2(x-E(x))^2 f(x)dx$$

$$= a^2 V(X)$$

演習問題 3..3  

1. $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - \vert x\vert & (-1 \leq x \leq 1)\\ 0 & (\mbox{その他}) \end{array}\right.$
のとき次の問いに答えよう．

(a)

$f(x)$は確率密度関数であることを示そう．

(b)

分布関数$F(x)$を求めよう．

(c)

$P_{r}(-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{1}{2})$を求めよう．

(d)

$E(X), V(X)$を求めよう．

2. 1つのサイコロを，3回投げるとき，1の目が出る回数を$X$とする．

(a)

$X$の確率分布を求めよう．

(b)

$X$の平均と標準偏差を求めよう．

(c)

$X$を標準化した確率変数$Z$を求め，更に，$Z$の確率分布を求めよう．

3. Bernoulliの定理を利用して，次の確率を求めよう．

(a)

1枚の硬貨を1000回投げたとき，表が現われる回数$r$が

$$\left\vert\frac{r}{1000} - \frac{1}{2}\right\vert < \frac{1}{10}$$

を満たす確率．

(b)

2枚の硬貨を1000回投げたとき，2枚とも表が現われる回数$r$が，

$$\left\vert\frac{r}{1000} - \frac{1}{4}\right\vert < \frac{1}{10}$$

をみたす確率．

(c)

1枚の硬貨を2000回投げて，表の出る回数が1000回より50回以内の偏りである確率を求めよ．

(d)

1枚の硬貨を2000回投げて，表の出る割合と理論的確率$0.5$との差が$5\%$以内である確率が$99\%$以上であるようにするには，何回以上投げればよいか．