行列の対角化

$A$ に相似な行列 $P^{-1}AP$ の固有値はどうなっているのでしょう．

定理 4..1  

相似な行列の固有多項式は同じであり, したがって固有値も同じである．

証明

$$\Phi_{P^{-1}AP}(t) = \vert P^{-1}AP - t I\vert = \vert P^{-1}(A - t I)P\vert$$

$$= \vert P^{-1}\vert\cdot \vert A - t I\vert\cdot\vert P\vert = \vert A - t I\vert = \Phi_{A}(t). \ensuremath{ \blacksquare}$$

第2章で対角行列について学びました．対角行列は対角成分以外の成分がすべて 0 の行列で, 対角行列どうしの和も積も対角行列となり, 非常に扱いやすい行列です．また明らかに対角行列の固有値は対角成分そのものなので, 簡単に固有値を求めることができます．

もちろん私たちが扱う行列のほとんどは対角行列ではありません．しかし, $P^{-1}AP$ が対角行列になることがあります．このような$P$ が存在するとき, $A$ は 対角化可能(diagonalizable)であるといいます．そこで正方行列はどんなとき対角化が可能なのか調べてみました．

定理 4..2  

$n$ 次の正方行列 $A$ について, 次の条件は同値である．
$(1)$ $A$ は対角化可能である．
$(2)$ $A$ は $n$個の1次独立な固有ベクトルをもつ．
$(3)$ $A$ の相異なるすべての固有値を $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{p}$ とし, 対応する固有空間を $V(\lambda_{1}),\\ V(\lambda_{2}),\ldots,V(\lambda_{p})$ とすると,

$$n = \dim V(\lambda_{1}) + \dim V(\lambda_{1}) + \cdots + \dim V(\lambda_{p})$$

である．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$P^{-1}AP$ が対角行列となるように適当な正則行列 $P$ を選ぶと

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{rrrr} \lambda_{1}&0&0&0\\ 0&\lambda_{2}&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

となる．このとき, $P =({\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{n})$ を左からかけると,

$$P(P^{-1}AP) = A({\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{n}) = ({\... ...{2}&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

となり,

$$(A{\bf p}_{1},A{\bf p}_{2},\ldots,A{\bf p}_{n}) = (\lambda_{1}{\bf p}_{1},\lambda_{2}{\bf p}_{2},\ldots,\lambda_{n}{\bf p}_{n})$$

が得られる．両辺の各列ベクトルを比較することにより, $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ は $A$ の固有値であり, ${\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{n}$ はそれぞれ対応する固有ベクトルであることがわかる．また, $P$ は正則であるから, 定理2.5より ${\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{n}$ は1次独立である．
$(2) \Rightarrow (3)$
まず, $V(\lambda_{1})+V(\lambda_{2}) + \cdots + V(\lambda_{p})$ が直和であることを示す．そのためには

$$V(\lambda_{i}) \cap \{V(\lambda_{1}) + V(\lambda_{2}) + \cdots + V(\lambda_{i-1})\} = \{{\bf0}\} (i = 2,3,\ldots,p)$$

であることを示せばよい(演習問題4.1) ．そこで, $\lambda_{j}$ の固有ベクトルを

$${\mathbf x}_{j} (j=1,2,\ldots,i)$$

とおくと

$${\mathbf x}_{i} \in V(\lambda_{i}) \cap \{V(\lambda_{1}) + V(\lambda_{2}) + \cdots + V(\lambda_{i-1})\}$$

より

$${\mathbf x}_{i} = {\mathbf x}_{1} + {\mathbf x}_{2} + \cdots + {\mathbf x}_{i-1}, {\mathbf x}_{j} \in V(\lambda_{j}) (j = 1,2,\ldots,i)$$

となる． 次に任意のスカラー $\lambda, \mu$ に対して, $(A - \lambda I)\cdot(A - \mu I) = (A - \mu I)\cdot(A - \lambda I)$ が成り立ち, また $(A - \lambda I){\mathbf x}_{j} = A{\mathbf x}_{j} - \lambda {\mathbf x}_{j} = (\lambda_{j} - \lambda){\mathbf x}_{j}$ であるから,

$$(A - \lambda_{1} I)(A - \lambda_{2} I)\cdots(A - \lambda_{i-1} I){\mathbf x}_{i}$$

$$= (\lambda_{i} - \lambda_{1})(\lambda_{i} - \lambda_{2})\cdots(\lam... ...i} - \lambda_{i-1}){\mathbf x}_{i} = {\bf0} + {\bf0} + \cdots + {\bf0} = {\bf0}$$

となり, ${\mathbf x}_{i} = {\bf0}$ が得られる．したがって,

$$V(\lambda_{i}) \cap \{V(\lambda_{1})+\cdots+V(\lambda_{i-1})\} = \{{\bf0}\}$$

である．
$(3) \Rightarrow (1)$
$\{{\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{q}\},\{{\bf p}_{q+1},{\bf p}_{q+2},\ldots,{\bf p}_{r}\},\ldots,\{{\bf p}_{s+1},{\bf p}_{s+2},\ldots,{\bf p}_{n}\}$ をそれぞれ

$$V(\lambda_{1}), V(\lambda_{2}), \ldots, V(\lambda_{p})$$

内の1次独立なベクトルの組とするとき,

$$n = \dim V(\lambda_{1}) + \dim V(\lambda_{2}) + \cdots + \dim V(\lambda_{p}) ,$$

$$V(\lambda_{i}) \cap V(\lambda_{j}) = \{{\bf0}\} (i \neq j).$$

よって

$$\{{\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{q},{\bf p}_{q+1},{\bf p}_{q+2},\ldots,{\bf p}_{r},\ldots,{\bf p}_{s+1},{\bf p}_{s+2},\ldots,{\bf p}_{n}\}$$

は1次独立なベクトルの組である．そこで $P =({\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{n})$ とすると,

$$AP = (A{\bf p}_{1},A{\bf p}_{2},\ldots,A{\bf p}_{n}) = (\lambda{\bf p}_{1},\lambda{\bf p}_{2},\ldots,\lambda{\bf p}_{n})$$

$$= ({\bf p}_{1},{\bf p}_{2},\ldots,{\bf p}_{n})\left(\begin{array}{c... ...in{array}{ccc} \lambda_{1}&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_{n} \end{array}\right).$$

よって $P^{-1}AP$ は対角行列になる． $\blacksquare$

この証明より $A$ が対角化可能なら $A$ の対角成分は $A$ の固有値で構成され, その数は固有空間の次元に一致することがかわります．

例題 4..1  

次の行列を対角化しよう．

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{array}\right)$$

解 例題3.2より, $A$ の固有値は $\lambda = 2,-1$ であり, 固有空間は

$$V(2) = \{\alpha \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\ri... ...rray}\right) + \gamma \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\}.$$

よって固有ベクトルを列ベクトルにもつ行列を $P$ とすると,

$$P = \left(\begin{array}{rrr} 1&-1&-1\\ 1&1&0\\ 1&0&1 \end{array... ...{-1}AP = \left(\begin{array}{rrr} 2&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{array}\right)$$

を得る． $\blacksquare$

正方行列が対角化可能であるための必要十分条件は, それぞれの固有値に対する固有空間の次元と固有値の重複度が一致することでした．では一致しない場合はどんなことがいえるのでしょうか．

$\spadesuit$行列の三角化 $\spadesuit$

正方行列 $A$ に対して, 適当な正則行列 $P$ を選んで $P^{-1}AP$ が上三角行列となるとき, $A$ は $P$ によって三角化(triangular)されるといいます．

$n$ 次の正方行列 $A = (a_{ij})$ について, $A^{*} = (\bar{a_{ij}})^{t} = (\bar{a_{ji}})$ を $A$ の 共役転置(conjugate transpose) といいます．また$A = A^{*}$ である行列を エルミート行列(Hermitian matrix) といいます．なお, $A$ が実行列のとき$A^{*}$ は転置行列 $A^{t}$ になり, エルミート行列と対称行列は同じものになります．

例題 4..2  

$A = \left(\begin{array}{cc} 2&1 + 2i\\ 1 - 2i&1 \end{array}\right)$ のとき, $A^{*}$ を求めよう．

解 $A^{*} = \left(\begin{array}{cc} 2&1 + 2i\\ 1 - 2i&1 \end{array}\right)$．よって $A$ はエルミート行列である． $\blacksquare$

$U^{*}U = UU^{*} = I$ となる $n$ 次の複素正方行列 $U$ を ユニタリ行列(unitary matrix) といいます．また, $A^{t}A = AA^{t} = I$ となる $n$ 次の実正方行列 $A$ を 直交行列(orthogonal matrix) といいます．これよりただちに $U$ がユニタリ行列のとき $U^{*} = U^{-1}$, $A$ が直交行列のとき $A^{t} = A^{-1}$ が得られます．

定理 4..3  

$n$ 次の正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ とすると, $A$ は適当なユニタリ行列 $U$ により上三角行列

$$U^{-1}AU = U^{*}AU = \left(\begin{array}{rrrrr} \lambda_{1}&&&&\\ &\lambda_{2}&&*&\\ &&\ddots&&\\ &0&&&\\ &&&&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

に変換される．

証明 行列 $A$ の次数 $n$ について帰納法を用いる．$n = 1$ のときは $A = (a_{11})$自身上三角行列である．$n-1$ 次の正方行列について定理が成り立つと仮定し, $n$ 次の正方行列 $A$ に対しても定理が成り立つことを示す．

$A$ のひとつの固有値を $\lambda_{1}$, それに対する固有単位ベクトルを ${\bf u}_{1}$ とし, ${\bf u}_{1}$, ${\bf u}_{2}$, $\ldots$, ${\bf u}_{n}$ を ${ C}^{n}$ の正規直交基底になるように選ぶ．すると演習問題4.1より

$$U_{1} = ({\bf u}_{1},{\bf u}_{2},\ldots,{\bf u}_{n})$$

はユニタリ行列であり,

$$U_{1}^{-1}AU_{1} = U_{1}^{-1}(\lambda_{1}{\bf u}_{1},A{\bf u}_{2},\ldots,A{\bf u}_{n})$$

$$= (\lambda_{1}{\bf e}_{1},U^{-1}A{\bf u}_{2},\ldots,U^{-1}A{\bf u}_{n})$$

$$= \left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1}&\vdots &*\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ 0&\vdots& B \end{array}\right)$$

となる．ここで $B$ は $n-1$ 次の正方行列である．定理4.1より $A$ と $U^{-1}AU$ は同じ固有値をもつから, $B$ の固有値は $A$ の $\lambda_{1}$以外の $n-1$個の固有値 $\lambda_{2},\lambda_{3},\ldots,\lambda_{n}$ である．仮定より $n-1$ 次の正方行列 $B$ に対して $n-1$ 次のユニタリ行列 $U_{2}$ が存在し, $U_{2}^{-1}BU_{2}$ が上三角行列

$$U_{2}^{-1}BU_{2} = \left(\begin{array}{rrrrr} \lambda_{2}&&&&\\ &\lambda_{3}&&*&\\ &&\ddots&&\\ &0&&&\\ &&&&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

になる．このとき $U = U_{1}\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&U_{2} \end{array}\right)$ とおくと, $U$ はユニタリ行列であり,

$$U^{-1}AU = \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&U_{2} \end{array}\right)^{-1}U_{1}^{-1}AU_{1}\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&U_{2} \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&U_{2}^{-1} \end{array}\right)\le... ...0&B \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&U_{2} \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{rr} \lambda_{1}&*\\ 0&U_{2}^{-1}BU_{2} \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{rrrrr} \lambda_{1}&&&&\\ &\lambda_{2}&&*&\\ &&\ddots&&\\ &0&&&\\ &&&&\lambda_{n} \end{array}\right) .$$

よって $U^{-1}AU$ は定理に述べた形の上三角行列である． $\blacksquare$

例題 4..3  

$A = \left(\begin{array}{rr} 3&1\\ -1&1 \end{array}\right)$ の対角化は可能か．もし不可能なら三角化を行なおう．

解 $\Phi_{A}(t) = \left\vert \begin{array}{rr} 3-\lambda&1\\ -1&1-\lambda \end{array}\right\vert = (\lambda - 2)^{2}$より, 固有値は $2$ である．また

$$A - 2I = \left(\begin{array}{rr} 1&1\\ -1&-1 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{rr} 1&1\\ 0&0 \end{array}\right)$$

より, 固有ベクトルは

$${\mathbf x} = \alpha \left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right) .$$

よって, 固有空間は $\{\alpha \left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right) \}$ となり, $\dim V(2) = 1 < 2$．したがって, 定理4.1より対角化は不可能である．そこで三角化するために固有ベクトル $\left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right)$より固有単位ベクトル $\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right)$ を得, これよりGram-Schmidtの直交化を用いて正規直交基底を作ると $\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) \}$ となる．そこで $U = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr} 1&1\\ -1&1 \end{array}\right)$ とおくと, $U$ は直交行列となり

$$U^{-1}AU = U^{t}AU = \left(\begin{array}{rr} 2&2\\ 0&2 \end{array}\right)$$

となる． $\blacksquare$

$n$ 次の実正方行列 $A$ が重複度をこめて $n$個の実数の固有値をもつならば, いま行なった証明はそのまま実数の範囲で繰り返すことができます．この場合, $U$ として直交行列を用いることができ次の定理を得ます．

定理 4..4  

$n$ 次の正方行列 $A$ が $n$個の実数の固有値をもつならば, $A$ は適当な直交行列 $P$ により上三角行列に変換される．

演習問題4-2

1. 次の行列は対角化可能か．可能ならば適当な正則行列 $P$ を求めて対角化せよ．もし不可能ならば三角化を行なえ．

(a) $\left(\begin{array}{rr} 1&2\\ 0&-1 \end{array}\right)$ (b) $\left(\begin{array}{rrr} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$ (c) $\left(\begin{array}{rrr} 1&1&6\\ -1&3&6\\ 1&-1&-1 \end{array}\right)$

2. $U,W$ がベクトル空間$V$ の部分空間であるとき, $U + W$ が直和であるための必要十分条件は $U \cap W = \{\bf0\}$ であることを証明せよ．

3. $U,W$ が有限次元のとき,

$$\dim (U \oplus W) = \dim U + \dim W$$

が成り立つことを証明せよ．

4. 3次元ベクトル空間 ${\mathcal R}^{3}$ において

$$U = \{(x_{1},x_{2},x_{3}) : x_{1}+x_{2}+x_{3} = 0\}, W = \{(x_{1},x_{2},x_{3}) : x_{1} = x_{2} = x_{3} \}$$

とすると, ${\mathcal R}^{3} = U \oplus W$ であることを証明せよ．

5. 直交行列の固有値$\lambda$ の絶対値はつねに $1$ であることを証明せよ．

6. 正方行列 $U$ の列ベクトルが正規直交基底をなすとき, $U$ はユニタリ行列であることを証明せよ．