完全微分形微分方程式(Exact differential equation)

この節では変数分離形ではないが，積分を2回行なうことによって解が得られる微分方程式について考えます．まず2変数関数の全微分を思い出してもらいます．2変数関数$u(x,y)$の全微分は

$$du = u_{x}dx + u_{y}dy$$

で与えられます．よってもし2つの偏微分 $u_{x},u_{y}$がわかれば，全微分$du$が求まります．逆に，関数の全微分がわかると次の例題が示すように，その関数を任意の定数の範囲できめることができます．

例題 1..10  

ある関数$u(x,y)$の全微分は

$$du = 3x(xy - 2)dx + (x^{3} + 2y)dy$$

で与えられている．このとき，$u(x,y)$を求めよ．

解 $dx$と$dy$の係数は$u_{x}$と$u_{y}$である．したがって

$$u_{x} = 3x^{2}y - 6x, u_{y} = x^{3} + 2y.$$

最初の式を$x$について積分すると

$$u(x,y) = \int( 3x^{2}y - 6x)dx = x^{3}y - 3x^{2} + c(y)$$

ここで$c(y)$は$y$についての任意関数(なぜ?)．この式を$y$について偏微分すると

$$u_{y} = x^{3} + c^{\prime}(y)$$

となる．この$u_{y}$と最初に与えられた$u_{y}$は等しいはずであるから，

$$u_{y} = x^{3} + c^{\prime}(y) = x^{3} + 2y .$$

これより $c^{\prime}(y) = 2y$となり， $c(y) = y^{2} + C$を得る．ただし$C$は任意定数．よって

$$u(x,y) = x^{3}y - 3x^{2} + y^{2} + C$$

である． $\blacksquare$

次の定義は全微分と完全微分形微分方程式を結びつけてくれます．

定義 1..1  

$1$階の全微分方程式

$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$

の左辺がある関数$u(x,y)$の全微分$du$に等しいならば，この方程式の一般解は

$$u(x,y) = c$$

で与えられ，このような方程式を完全微分形(exact)という．

例題 1..11  

$3x(xy - 2)dx + (x^{3} + 2y)dy = 0$を解け．

解 例題1.10で上の微分方程式の左辺が$du$と等しい関数$u(x,y)$を求めた．よって一般解は

$$x^{3}y - 3x^{3} + y^{2} = c . \ensuremath{ \blacksquare}$$

次の定理は与えられた微分方程式が完全微分形か，でないか簡単にテストする方法を示唆しています．

定理 1..1   $M(x,y)$と$N(x,y)$の$1$階の偏導関数が，ある領域 $\{(x,y) : a < x < b, c < y < d \}$上で連続であるとする．そのとき，次の条件は同値である．
$(1) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$   は完全微分形である
$(2) M_{y} = N_{x}$

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
微分方程式が完全微分形ならば， $du = M(x,y)dx + N(x,y)dy$となる関数$u(x,y)$が存在する．よって

$$M = u_{x}, N = u_{y}$$

を得る．次に$M$を$y$で偏微分，$N$を$x$で偏微分すると

$$M_{y} = u_{xy}, N_{x} = u_{yx}$$

となる．ここで $M_{y}, N_{x}$は仮定より連続なので $u_{xy},u_{yx}$も連続である．よって微積分学で学んだSchwartzの定理(Schwarz lemma)より $u_{xy} = u_{yx}$となり， $M_{y} = N_{x}$を得る．
$(2) \Rightarrow (1)$
$(x_{0},y_{0})$を$M,N$の定義域に属する点とする． まず， $\frac{\partial u}{\partial x} = M$より

$$u(x,y) - u(x_{0},y) = \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial u}{\partial x}dx = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi$$

を得る． これが $\frac{\partial u}{\partial y} = N$を満たすように，つまり

$$N(x,y) = \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi$$

が成り立つように $u(x_{0},y)$を定めればよい．$M$は連続な偏導関数をもつから，微分と積分の順序の交換ができて

$$\frac{\partial}{\partial y}\int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi = \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial M}{\partial y}(\xi,y)d\xi$$

が成り立つ．ここで $M_{y} = N_{x}$より

$$N(x,y) = \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} + \int_{x_{0}}^{x}\frac{\p... ..._{0},y)}{\partial y} + \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial N}{\partial x}(\xi,y)d\xi$$

$$= \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} + N(x,y) - N(x_{0},y)$$

を得る．したがって， $u(x_{0},y)$は

$$\frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} = N(x_{0},y)$$

を満たさなければならない．そこで $u(x_{0},y)$を

$$u(x_{0},y) = \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta$$

と定めると

$$u(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta .$$

これより

$$du = M(x,y)dx + N(x,y)dy$$

となり， $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$は完全微分形である． $\blacksquare$

この定理の証明の中に完全微分形のときの解$u(x,y)$が与えられています．つまり $M_{y} = N_{x}$のとき，一般解は

$$u(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta = c$$

で与えられます．

例題 1..12  

$(y\cos{x} - \sin{y})dx + (\sin{x} - x\cos{y})dy = 0$を解け．

解

$$M_{y} = \frac{\partial}{\partial y}(y\cos{x} - \sin{y}) = \cos{x} - \cos{y},$$

$$N_{x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin{x} - x\cos{y}) = \cos{x} - \cos{y}$$

より方程式は完全微分形である．そこで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$として一般解を求めると

$$u(x,y) = \int_{0}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{0}^{y}N(0,\eta)d\eta$$

$$= \int_{0}^{x}(y\cos{\xi} - \sin{y})d\xi + \int_{0}^{y}0 d\eta$$

$$= y\sin{x} - x\sin{y}$$

となり，一般解は

$$y\sin{x} - x\sin{y} = c . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 1..13  

初期値問題 $(2xy + 3y)dx + (4y^{3} + x^{2} + 3x + 4)dy = 0, y(0) = 1$を解け．

解 $M_{y} = 2x + 3 = N_{x}$より，方程式は完全微分形である．よって

$$u(x,y) = \int_{0}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{0}^{y}N(0,\eta)d\eta$$

$$= \int_{0}^{x}(2\xi y + 3y)d\xi + \int_{0}^{y}(4\eta^{3} + 4)d\eta$$

$$= x^{2}y + 3xy + y^{4} + 4y .$$

これより，一般解

$$x^{2}y + 3xy + y^{4} + 4y = c$$

を得る．最後に初期条件$y(0) = 1$より$c = 5$が定まる． $\blacksquare$

公式 $u(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta$を用いて，一般解を求める方法の他に，もっとよく用いられている方法にくくり直し法(grouping method)とよばれているものがあります．この方法を次の例題を用いて説明します.

例題 1..14  

$(2x + 3y)dx + (3x + y^2 + 3)dy = 0$を解け.

解 $M_{y} = 3 = N_{x}$より，方程式は完全微分形である．そこで $M(x,y),N(x,y)$を

$$\underbrace{2x dx}_{x} + \underbrace{(3ydx + 3x dy)}_{x,y} + \underbrace{(y^2 + 3)dy}_{y} = 0$$

となるようにくくり直す．次に全微分を用いて書き直すと

$$d(x^2) + d(3xy) + d(\frac{y^3}{3} + 3y) = d(c) .$$

これより，

$$x^2 + 3xy + \frac{y^3}{3} + 3y = c . \ensuremath{ \blacksquare}$$