演習問題

1. $f(x)$が $(0,\infty)$で区分的に滑らかで, $\int_{0}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$ (絶対積分可能)のとき,次のことが成り立つことを示せ．
$(a) \ {\cal F}_{s}[f^{\prime}(x)] = - \omega {\cal F}_{c}[f(x)]$
$(b) \ {\cal F}_{c}[f^{\prime}(x)] = - f(0+) + \omega {\cal F}_{s}[f(x)]$
2. $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \vert x\vert < a \\ 0 & \vert x\vert > a \end{array}\right .$のとき,下の問に答えよ．
(a) $f(x)$のフーリエ変換を求めよ．
(b) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin{a \omega} \cos{\omega x}}{\omega} d\omega$を計算せよ．
(c) (b)の結果を用いて $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{u}}{u}du$を求めよ．
3.
(a) 積分方程式 $\int_{0}^{\infty}f(x)\cos{\omega x}dx = \left\{\begin{array}{ll} 1 - \omega & 0 \leq \omega \leq 1\\ 0 & \omega > 1 \end{array} \right.$を解け．
(b) (a)の結果を用いて $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}{u}}{u^2}du = \frac{\pi}{2}$を示せ．
4. フーリエ積分公式を使って,次の各等式が成り立つことを示せ．
$(a) \ \int_{0}^{\infty}\frac{1 - \cos{a \omega}}{\omega}\sin{\omega x} d\omega ... ...ac{\pi}{2},& 0 < x < a\\ \frac{\pi}{4},& x = a\\ 0,& x > a \end{array}\right.$
$(b) \ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin{\pi \omega} \sin{\omega x}}{1 - \omega^{2}} d... ...sin{x}}{2},& \vert x\vert \leq \pi\\ 0,& \vert x\vert > \pi \end{array}\right.$