演習問題

1. 表面が断熱されている長さ2mの細長い棒の定常状態の温度分布が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x,& 0 < x < 1\\ 2-x,& 1 < x < 2 \end{array}\right.$$

で与えられ,時間$t=0$のとき,両端が温度$0^{\circ}$度の冷水の中につけられた．このとき棒の温度$u(x,t)$を求めよ．
2. 1.と同じ条件で定常温度分布が $f(x) = x(2-x), \ 0 < x < 2$で与えられているときの温度$u(x,t)$を求めよ．
3. 長さ1mの細長い棒の端が $10^{\circ}$と $90^{\circ}$に保たれているとき,定常温度分布を求めよ．
4. (a) 次の熱伝導方程式の境界値問題

$u_{xx} = ku_{t} \ \ -\infty < x < \infty, \ t > 0$

$\vert x\vert \rightarrow \infty$ のとき $u(x,t)$ 有界

$u(x,0) = f(x)$

にラプラス変換を施し, $u(x,t)e^{-st} \rightarrow 0$を仮定すると次の微分方程式を得ることを示せ．

$$U_{xx}(x,s) - ksU(x,s) = -kf(x), \ - \infty < x < \infty.$$

(b)

$$U(x,s) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{s}}\int_{0}^{\infty}e^{-\sqrt{ks}(y-s)}f(y)dy$$

$$+ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{s}}\int_{-\infty}^{0}e^{-\sqrt{ks}(y-s)}f(y)dy$$

$$- \sqrt{\frac{k}{s}}\int_{0}^{x}f(y)\sinh{-\sqrt{ks}(y-s)}f(y)dy$$

は上の境界値問題の解であることを示せ．