フーリエ変換(Fourier transformation)

Dirichlet条件を満たす関数のフーリエ展開は周期関数や有限区間で定義された関数の応用に役立ちました．しかし，前章でみたように，無限区間 $(-\infty,\infty)$で定義された関数を表わすことができませんでした．そこでこのようなときには，フーリエ級数でなくフーリエ変換(積分)(Fourier Transform)を用います．

フーリエ積分展開は周期$L$の周期関数の複素フーリエ級数において， $L \rightarrow \infty$と考えることができます．つまり周期$L$の周期関数の複素フーリエ級数

$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}c_{n}e^{\frac{in\pi x}{L}},$$

$$c_{n} = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-\frac{in\pi x}{L}} dx$$

において， $\omega = n\pi/L, F(\omega) = 2Lc_{n}$とおくと， $\Delta \omega = \frac{(n+1)\pi - n\pi}{L} = \pi/L$．よって

$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}\frac{F(\omega)}{2L}e^{i\omega x}$$

$$= \frac{1}{2\pi}\sum_{n = -\infty}^{n = \infty}F(\omega)e^{i\omega x}\Delta \omega .$$

ただし，

$$F(\omega) = \int_{-L}^{L}f(x)e^{-i\omega x}dx.$$

ここで $L \rightarrow \infty$とすると次の定理が得られます．

定理 8..1 (フーリエ積分公式)   $f(x)$が $(-\infty,\infty)$で区分的に滑らかで，絶対積分可能 $(\int_{-\infty}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty)$ならば

$$\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2} = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i \omega x} d \omega ,$$

ただし

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i \omega x}dx .$$

ここに使われた$F(\omega)$を$f(x)$のフーリエ変換(Fourier transform)といい, ${\cal F}[f(x)] = F(\omega)$と表わします．また$f(x)$は$F(\omega)$のフーリエ逆変換(Fourier inverse transform)といい， $f(x) = {\cal F}^{-1}[F(\omega)]$と表わします．フーリエ積分公式で$f(x)$か$F(\omega)$のどちらか一方がわかればもう一方が求まるので，フーリエ積分公式は フーリエ反転公式ともよばれます．

例題 8..1  

$f(x) \in C^{1}$級で， $f(x),f^{\prime}(x)$が $(-\infty,\infty)$で絶対積分可能のとき ${\cal F}[f^{\prime}(x)] = (i \omega)F(\omega)$を示せ．

解 まず $\int_{-\infty}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$より $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 0$となる．もし $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \alpha \neq 0$ならば，十分大きな$T > 0$に対して， $\int_{T}^{\infty}\vert f(x)\vert dx = \infty$となり，絶対積分可能でない．次に $f^{\prime}$のフーリエ変換は

$${\cal F}[f^{\prime}] = \int_{-\infty}^{\infty}f^{\prime}(x)e^{-i \omega x}dx.$$

ここで $u = e^{-i \omega x} dv = f^{\prime}(x)$とおき，部分積分を用いると

$${\cal F}[f^{\prime}] = f(x)e^{-i \omega x}\mid_{\infty}^{\infty} ... ...infty}f(x)e^{-i \omega x}dx = (i \omega)F(\omega). \ensuremath{ \blacksquare}$$

ラプラス変換と同様，次のような微分法則が成り立ちます．

$${\cal F}[f^{(n)}(x)] = (i \omega)^{n}F(\omega).$$

また，便利な公式として次のようなものがあります．

表: フーリエ変換公式

$f(x)$	$F(\omega)$
$1$	$2\pi \delta(\omega)$
$e^{-a\vert x\vert} (a > 0)$	$\frac{2a}{a^2 + \omega^2}$
$e^{-a^2 x^2} (a > 0)$	$\frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-\omega^{2}/4a^2}$
$\frac{1}{a^2 + x^2} (a > 0)$	$\frac{\pi}{a}e^{-a \vert\omega\vert}$

フーリエ変換$F(\omega)$で，Eulerの公式 $e^{-i\omega x} = \cos{\omega x} - i \sin{\omega x}$を用いると，

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)(\cos{\omega x} - i \sin{\omega x})dx$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos{\omega x} dx - i \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin{\omega x} dx$$

$$= \underbrace{A(\omega)}_{even function} - i\underbrace{B(\omega)}_{odd function} .$$

よってフーリエ積分公式より

$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}(A(\omega) - iB(\omega))(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) d\omega$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}A(\omega)\cos{\omega x}d\omega + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}B(\omega)\sin{\omega x} d\omega$$

$$= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos{\omega x}d\omega + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}B(\omega)\sin{\omega x} d\omega .$$

まとめると

定理 8..2   $f(x)$が $(-\infty,\infty)$で区分的に滑らかで， $\int_{-\infty}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$ $($絶対積分可能 $)$ならば

$$f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(A(\omega)\cos{\omega x}+ B(\omega)\sin{\omega x}) d\omega ,$$

$$A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos{\omega x} dx ,$$

$$B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\sin{\omega x} dx .$$

フーリエ余弦変換

$f(x)$が $(0,\infty)$で区分的に滑らかで， $\int_{0}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$ $($絶対積分可能 $)$ならば

$$F_{c}(\omega) = \int_{0}^{\infty}f(x)\cos{\omega x}dx ,$$

$$f(x) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}F_{c}(\omega)\cos{\omega x}d\omega .$$

$F_{c}(\omega)$をフーリエ余弦変換(Fourier cosine transform) といいます．

フーリエ正弦変換

$f(x)$が $(0,\infty)$で区分的に滑らかで， $\int_{0}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$ $($絶対積分可能 $)$ならば

$$F_{s}(\omega) = \int_{0}^{\infty}f(x)\sin{\omega x}dx ,$$

$$f(x) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}F_{s}(\omega)\sin{\omega x}d\omega .$$

$F_{s}(\omega)$をフーリエ正弦変換(Fourier sine transform) といいます．

例題 8..2  

フーリエ積分公式を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos{\omega x} + \omega \sin{\omega x}}{\o... ...ay}{cl} 0,& x < 0\\ \pi/2, & x = 0\\ \pi e^{-x},& x > 0 . \end{array}\right.$$

解

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0,& x < 0\\ \pi/2, & x = 0\\ \pi e^{-x},& x > 0 \end{array}\right.$$

とおくと，フーリエ積分公式より

$$A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos{\omega x}dx$$

$$= \int_{-\infty}^{0}0\cos{\omega x}dx + \int_{0}^{\infty}\pi e^{-x}\cos{\omega x}dx$$

$$= \pi(\frac{\cos{\omega x}}{\omega^{2}+1}) ,$$

$$B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin{\omega x}dx$$

$$= \int_{-\infty}^{0}0\cos{\omega x}dx + \int_{0}^{\infty}\pi e^{-x}\sin{\omega x}dx$$

$$= \pi(\omega\frac{\sin{\omega x}}{\omega^{2}+1}) .$$

よって

$$f(x) = \int_{0}^{\infty}(\frac{\cos{\omega x}}{\omega^{2} + 1} + \frac{\omega \sin{\omega x}}{\omega^{2}+1})d\omega$$

となる． $\blacksquare$

フーリエ変換の偏微分方程式への応用に行く前に．合成積のフーリエ変換について少し考えてみましょう．まず，$f(x)$と$g(x)$の合成積$f \ast g$を

$$(f \ast g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x - \tau)g(\tau)d\tau$$

で定義します．ここで$f(x)$が $(0,\infty)$で絶対積分可能ならば次の定理が成り立ちます．

定理 8..3 (合成積のフーリエ変換)  

$${\cal F}\{f \ast g\} = {\cal F}\{f\} {\cal F}\{g\} = F(\omega)G(\omega) .$$

証明 $F(\omega),G(\omega)$をそれぞれ$f(x),g(x)$のフーリエ変換とすると，

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega u}du, G(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega v}dv .$$

よって

$$F(\omega)G(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(v)e^{-i \omega(u + v)}dudv .$$

ここで，$u+v = x$とおくと， $u = x - v, du = dx$より

$$F(\omega)G(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} g(v)(\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i \omega(u + v)}du)dv$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} g(v)(\int_{-\infty}^{\infty}f(x - v)e^{-i \omega x} dx)dv$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega x}(\int_{-\infty}^{\infty}f(x - v)g(v) dv)dx$$

$$= {\cal F}\{f \ast g\}. \ensuremath{ \blacksquare}$$