熱伝導方程式(Heat transfer equation)

最後に表面が断熱された細長い均質な棒に熱が伝わるとき，位置$x$，時刻$t$での棒の温度$u(x,t)$が満たす偏微分方程式について考えてみましょう．

図: 熱の伝わり方

$x_{0}$での切断面を通して$\Delta t$時間に棒に流入してくる熱量は，温度勾配 $u_{x}(x_{0},t)$に比例するので $KA u_{x}(x_{0},t) \Delta t$ (K : 熱伝導率, A : 断面積)．同じく$\Delta t$時間に $x_{0} + \Delta x$での切断面を通して流入する熱量は $KAu_{x}(x_{0}+\Delta x,t) \Delta t$．よって$x_{0}$と $x_{0} + \Delta x$の間に流入する総熱量は

$$KA[u_{x}(x_{0}+\Delta x,t) - u_{x}(x_{0},t)] \Delta t$$

となります．

一方，この棒の比熱を$g$(単位質量の温度を単位時間に $1^{\circ}C$上げるのに必要な熱量)とするとき，質量 $\rho A \Delta x$の部分が温度変化$u_{t}$をもたらすための熱量を$\Delta t$時間与えると，総熱量は

$$g u_{t} \rho A \Delta x \Delta t$$

となります．これが上の総熱量と等しくならなければならないので

$$KA[u_{x}(x_{0}+\Delta x,t) - u_{x}(x_{0},t)] \Delta t = g u_{t} \rho A \Delta x \Delta t .$$

両辺を $A \Delta x \Delta t$で割ると

$$K[\frac{u_{x}(x_{0}+\Delta x,t) - u_{x}(x_{0},t)}{\Delta x}] = g \rho u_{t}.$$

ここで $\Delta x \rightarrow 0$とすると

$$K u_{xx} = g \rho u_{t}$$

となり

$$u_{t} = ku_{xx} k = \frac{K}{g\rho} > 0$$

を得ます．

これは一次元熱伝導方程式(one dimensional heat equation)とよばれます．

外部から熱の供給$q(x,t)$がある場合には，棒の温度$u(x,t)$は次の式を満たします．

$$u_{t} = ku_{xx} + q(x,t) (k > 0).$$

$u(x,t)$が時間$t$に対して一定のとき，つまり$u_{t} = 0$のとき，$u(x,t)$は定常状態(steady state)での温度分布を表わします． 初期条件は，定常状態での温度分布の$t=0$における温度分布$f(x)$を表わします．つまり，

$$u(x,0) = f(x)$$

となります．また棒が有限な長さLをもつときの境界条件には次のようなものが考えられます．
(i) 棒の両端の温度が0に保たれているとき

$$u(0,t) = u(L,t) = 0.$$

(ii) 棒の両端が断熱されているとき

$$u_{x}(0,t) = u_{x}(L,t) = 0.$$

薄い板の熱伝導現象は，この板が$xy$平面におかれ，時刻$t$での点$(x, y)$の温度が$u(x,y,t)$であるとき，次 の二次元熱伝導方程式(two dimensional heat equation)で表わされます．

$$u_{t} = k(u_{xx} + u_{yy}) (k > 0).$$

ここで$u_{t} = 0$のとき，つまり$u(x,t)$が時間$t$に対して定数のとき，Laplace方程式 $u_{xx} + u_{yy} = 0$を得ます．そしてこの方程式は定常状態での温度分布を表わします．

また円柱の熱伝導方程式は，時刻$t$での点$(x,y,z)$の温度が $u(x,y,z,t)$であるとき，次 の三次元熱伝導方程式(three dimensional heat equation)で表わされます．

$$u_{t} = k(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) (k > 0).$$

この方程式を円柱座標 $(r,\theta,z)$で表わすと，変数変換

$$x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}, z = z$$

により，次のようになります．

$$u_{t} = k(u_{rr} + \frac{1}{r}u_{r} + \frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta} + u_{zz}) (k > 0).$$

例題 7..14  

表面が断熱されている長さ$L$の細長い均質な棒で棒の両端の温度が0度に保たれていて，初期温度分布が $u(x,0) = f(x)$で与えられているとき棒の温度$u(x,t)$を求めよ．

解 この関数の数学的モデルは熱伝導方程式

$$u_{t} = ku_{xx}$$

と初期条件 $u(x,0) = f(x), 0 < x < L$，境界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0, t > 0$で与えられる．

変数分離解 $u(x,t) = X(x)T(t)$を仮定して，これを熱伝導方程式に代入すると

$$XT^{\prime} = kX^{\prime\prime} T,$$

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{T^{\prime}}{kT} = \lambda (\lambda =$$   定数$$)$$

が得られる．また境界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$より，Sturn-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, X(0) = X(L) = 0$$

を得る．これは固有値 $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{(n\pi x/L)}$をもつ．またこの $\lambda_{n}$に対して $T^{\prime} - \lambda KT = 0$は

$$T^{\prime} + (\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2}T = 0$$

となり，その一般解は

$$T_{n}(t) = B_{n}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t}$$

で与えられる．こうして熱伝導方程式と境界条件を満たす解の列

$$u_{n}(x,t) = B_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t}$$

が得られる．これらを重ね合わせると

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t).$$

ここで初期条件 $u(x,0) = f(x)$を用いると

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}} = f(x).$$

よって$B_{n}$は$f(x)$のフーリエ正弦級数の係数となるので

$$B_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx .$$

したがって

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t)$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{L}(\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}... ...ac{n\pi x}{L}}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t}. \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 7..15  

例題7.3.5において，$t=0$の前に棒の一端が沸騰しているお湯につけられていて，$t=0$で $30^{\circ}$の水につけたとする．このとき棒の温度$u(x,t)$を求めよ．

解 時刻$t=0$の前で，定常状態という条件のもとでは，温度分布はラプラス方程式 $u_{xx} = 0$と境界条件 $u(0,t) = 0, u(L,t) = 100$で与えられる．ここで， $u_{xx} = 0$より，解を $u(x,t) = ax + bt + c$とおくと， $u_{t}(x,t) = 0$より $b = u_{t}(x,t) = 0$．また，境界条件より， $0 = u(0,t) = c, 100 = u(L,t) = aL + c$．したがって，

$$u(x,t) = \frac{100}{L}x$$

これより，$t \geq 0$において，次の境界値問題を解くことになる．

$$u_{t} = ku_{xx}, u(0,t) = 0, u(L,t) = 30, u(x,0) = \frac{100}{L}x$$

境界条件が同次でないので，この偏微分方程式の解の和は境界条件を満たすとは限らない．そこで， $t \to \infty$のとき $u_{xx} = 0$を満たす関数を考える．このような解を$t > 0$における定常状態での解といい， $u(x,\infty)$で表す．

この解は，$t < 0$での$u(x,t)$と同様にして求めることができ，

$$u(x,\infty) = \frac{30}{L}x$$

となる．

ここで， $u(x,t) = u(x,\infty) + v(x,t)$とおくと，

$$v_{t} = kv_{xx}$$

$$v(0,t) = u(0,t) - u(0,\infty) = 0 - 0 = 0$$

$$v(L,t) = u(L,\infty) - u(L,\infty) = 30 - 30 = 0$$

となり，同次の境界条件を持った熱伝導方程式を得ることができる．初期条件は

$$v(x,0) = u(x,0) - u(x,\infty) = \frac{100}{L}x - \frac{30}{L}x = \frac{70}{L}x$$

これより，解$v(x,t)$は，上の例題の$u(x,t)$と同じで，

$$v(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}}e^{-(\frac{n\pi \sqrt{K}}{L})^{2} t}$$

ただし，$B_{n}$は初期温度分布関数のフーリエ正弦係数である．したがって，

$$B_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}\frac{70}{L}x\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx = \frac{140}{n \pi}(-1)^{n+1}.$$

これより，温度$u(x,t)$は定常状態 $u(x,\infty)$と非定常分布$v(x,t)$により求まることが分かる． $\blacksquare$

非三角関数解 三角関数は常に境界値問題の解を表すことができるとは限らない．

例題 7..16  

球面における温度分布が$f(\phi)$で与えられる半径1の球の内部の定常状態での温度を求めよ．

解 空間では，定常状態温度$u(x,y,z)$はラプラス方程式 $\Delta_{3}u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0$を満たす．極座標変換

図: 極座標系

$$x = \rho \sin{\phi}\cos{\theta}, y = \rho \sin{\phi}\sin{\theta}, z = \rho \cos{\theta}$$

を用いると，

$$\rho^{2}u_{\rho \rho} + 2\rho u_{\rho} + u_{\phi \phi} + \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}u_{\phi} + \frac{1}{\sin^{2}{\phi}}u_{\theta \theta} = 0$$

を得る．境界条件の対称性より，$u$は$\phi$と$\rho$の関数のはずである．したがって，

$$\rho^{2}u_{\rho \rho} + 2\rho u_{\rho} + u_{\phi \phi} + \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}u_{\phi} = 0$$

ここで，解を $U(\phi,\rho) = R(\rho)\Phi(\phi)$とおくと，

$$\frac{\rho^{2}R''}{R} + \frac{2\rho R'}{R} = -\frac{\Phi''}{\Phi} - \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}\frac{\Phi'}{\Phi} = \lambda$$

となる．これより，2つの常微分方程式

$$\Phi'' + \frac{\cos{\phi}}{\sin{\phi}}\Phi' + \lambda \Phi =$$ 0

$$\rho^{2}R'' + 2\rho R - \lambda R =$$ 0

を得る． $x = \cos{\phi}$とおくと，

$$\Phi' = \frac{d \Phi}{d \phi} = \frac{d \Phi}{dx}\frac{dx}{d \phi} = -\sin{\phi}\frac{d \Phi}{dx}$$

$$\Phi'' = \sin^{2}{\phi}\frac{d^{2}\Phi}{dx^{2}} - \cos{\phi}\frac{d \Phi}{dx}$$

となるので，最初の式に代入すると，

$$(1 - x^{2})\frac{d^{2}\Phi}{dx^{2}} - 2x \frac{d \Phi}{dx} + \lambda \Phi = 0$$

これは，Legendre方程式で， $x \in [-1,1]$で有界な解は， $\lambda = n(n+1)$，$n$整数のときだけである．2つ目の式は，Cauchy-Eulerの方程式で， $\lambda = n(n+1)$のとき，完全解

$$a\rho^{n} + \frac{b}{\rho^{n+1}}$$

を持つ．

もし，$n \geq 0$ならば，$\rho = 0$のとき意味を持つために$b = 0$とおく．この段階で，次の解を持つ．

$$a_{0}P_{0}(x), a_{1}\rho P_{1}(x),a_{2}\rho P_{2}(x), \ldots, a_{n}\rho^{n} P_{n}(x), \ldots,$$

ただし，$P_{n}(x)$は位数$n$のLegendre多項式である．重ね合わせの原理より，

$$U(\rho, \phi) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\rho^{n}P_{n}(\cos{\phi})$$

ここで， $U(1,\phi) = f(\phi)$，または

$$f(\phi) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(\cos{\phi})$$

これは， $\{P_{n}\}_{n=1}^{\infty}$を直交系とする$f$のフーリエ級数である．また，例題6.13より，

$$\int_{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx = 0, m \neq n$$

さらに，

$$\int_{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)dx = \frac{2}{2n+1}$$

これより，$\phi$を用いて表すと，

$$\int_{0}^{\pi}P_{m}(\cos{\phi})P_{n}(\cos{\phi})\sin{\phi}d\phi =... ...\begin{array}{ll} 0, & m \neq n\\ \frac{2}{2n+1}, & n = m \end{array}\right.$$

したがって，

$$\int_{0}^{\pi}f(\phi)\sin{\phi}P_{n}(\cos{\phi})d\phi = \int_{0}^... ..._{n}(\cos{\phi})\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}P_{k}(\cos{\phi}) = \frac{2a_{n}}{2n+1}$$

これより，

$$a_{n} = (n+\frac{1}{2})\int_{0}^{\pi}f(\phi)\sin{\phi}P_{n}(\cos{\phi})d\phi$$

となり，形式解を得ることができた． $\blacksquare$

扱う領域が有界でないとき，フーリエ級数を用いて解を表わすことは不可能になります．このような場合，よく用いられるのが変換です．次の章でフーリエ変換を用いて，領域が有界でない場合の熱伝導方程式を解きます．