波動方程式(Wave equation)

次に水平に張られた弾性弦が微小振動するとき，位置$x$，時刻$t$において弦の垂直方向の変位$u(x,t)$がみたす偏微分方程式について考えてみましょう．

図: 弾性弦の振動

まず2点間に張った弦を考えます．弦をはじいて振動させます．このとき振幅は小さいものとします．また弦の張力は他の力に比べて大きいものとします．振動している弦の方程式をみつけるため$x_{1}$から $x_{1}+ \Delta x$の間の弦の小さな部分について調べます．

水平方向には動きがないので，水平方向の力はつりあっています．よって

$$\vert T_{1}\vert\cos{\alpha} = \vert T_{2}\vert\cos{\beta} = T =$$   定数$$($$水平方向$$) .$$

また垂直方向の力の差は，運動方程式より質量 $\rho \Delta s$と加速度$u_{tt}$の積で表わされます．ただし$\rho$は単位長での質量，$\Delta s$はいま考えている弦の小さな部分の長さ．よって

$$\vert T_{2}\vert\sin{\beta} - \vert T_{1}\vert\sin{\alpha} = \rho \Delta s u_{tt} ($$垂直方向$$) .$$

ここで振動が小さいことに注意すると， $\Delta s \approx \Delta x$． 両辺を$T$で割ると

$$\frac{\rho \Delta x}{T} u_{tt} \approx \tan{\beta} - \tan{\alpha}.$$

両辺を$\Delta x$で割り，接線の傾きと微分係数は等しいことを用いると，

$$\frac{\rho}{T}u_{tt} \approx \frac{u_{x}(x_{1}+\Delta x , t) - u_{x}(x_{1},t)}{\Delta x}.$$

ここで $\Delta x \rightarrow 0$とすると，

$$\frac{\rho}{T} u_{tt} = u_{xx}$$   または$$u_{tt} = c^{2}u_{xx}.$$

これは一次元波動方程式(one dimensional wave equation)とよばれます．

初期条件は$t=0$のときの弦の形状および初速度を指定する条件です．たとえば，初期の形状が$y = f(x)$である弦に初速度$g(x)$を与えた場合には，初期条件は

$$u(x,0) = f(x) , u_{t}(x,0) = g(x)$$

となります．また弦が有限な長さ$L$をもつとき，境界条件については，たとえば次のものが考えられます．

(i) 弦の両端を固定するとき

$$u(0,t) = 0, u(L,t) = 0.$$

(ii) 弦の両端点が振動方向に自由に動けるとき

$$u_{x}(0,t) = 0, u_{x}(L,t) = 0.$$

薄い膜の振動は，膜が静止の状態では$xy$平面に位置し，時刻$t$における垂直方向の変位が$u(x,y,t)$であるとすると，次の二次元波動方程式(two dimensional wave equation)で表わされます．

$$u_{tt} = c^{2}(u_{xx} + u_{yy}).$$

この方程式を極座標 $(r,\theta)$で表わすと，次のようになります．

$$u_{tt} = c^{2}(u_{rr} + \frac{1}{r}u_{r} + \frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}).$$

例題 7..12  

両端が固定されている長さ$L$の水平に張られた弾性弦の初期形状が$f(x)$で与えられているとき，この弦の垂直方向の変位を求めよ．

解 まず弾性弦の垂直方向の変位を$u(x,t)$とすると，$u(x,t)$は一次元波動方程式 $u_{xx} = (1/c^{2})u_{tt} ( 0 < x < L, t > 0)$を満たす．次に，初期条件は

$$u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = 0$$

と表わせる．また両端が固定されているので，境界条件は

$$u(0,t) = u(L,t) = 0．$$

ここでは変数分離法を用いて一次元波動方程式を解く． $u(x,t) = X(x)T(t)$とおき，一次元波動方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^{2}T} = \lambda .$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda T = 0 .$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$t$に対して

$$u(0,t) = X(0)T(t) = 0,$$

$$u(L,t) = X(L)T(t) = 0$$

となる．これは$T(t)$が0でないならば， $X(0) = X(L) = 0$を意味する．よってこれよりSturn-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, X(0) = X(L) = 0$$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{(n\pi x/L^{2})}$をもっている．さらに，固有値が $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L$のとき，

$$T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda_{n}T = 0$$

の一般解は

$$T_{n}(t) = C_{n}\cos{\frac{n\pi ct}{L}} + D_{n}\sin{\frac{n\pi ct}{L}}$$

で与えられる．

$X_{n}(x)$と$T_{n}(t)$の積

$$u_{n}(x,t) = \sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cos{\frac{n\pi ct}{L}} + D_{n}\sin{\frac{n\pi ct}{L}})$$

は一次元波動方程式を満たし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cos{\frac{n\pi ct}{L}} + D_{n}\sin{\frac{n\pi ct}{L}}).$$

ここで初期条件 $u(x,0) = f(x)$より，

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}} \equiv f(x).$$

この条件が満たされるためには，この級数が$f(x)$に収束するように$C_{n}$を選ばなければならない．ところがこれは皆さんがよく知っている関数$f(x)$の$[0,L]$でのフーリエ正弦級数展開である．よって

$$C_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$$

で与えられる．

$D_{n}$を見つける方法もほとんど同じである．$u(x,t)$が$t$について項別微分可能であるとすると，

$$0 \equiv u_{t}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\pi c}{L}\sin{\frac{n\pi x}{L}}.$$

これより， $(n\pi c/L)D_{n}$は0のフーリエ正弦級数となるので

$$D_{n} = \frac{2}{n\pi c}\int_{0}^{\infty}0 \sin{\frac{n\pi x}{L}} dx = 0$$

で与えられる． $\blacksquare$

例題 7..13  

四角いドラムの薄い膜の振動は次の境界値問題として表わされる．

$$u_{tt} = c^{2}\Delta_{2}u , 0 < x < 1, 0 < y < 1, t > 0$$

$$u(0,y,t) = 0, u(1,y,t) = 0, u(x,0,t) = 0 , u(x,1,t) = 0$$

$$u(x,y,0) = f(x,y), u_{t}(x,y,0) = g(x,y)$$

この境界値問題を初期速度 $g(x,y) = 0$のとき解け．

解 変数分離法を用い， $u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$を仮定し，これを二次元波動方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^{2}T}$$

となる．ここで左辺は$t$と独立であり，右辺は$x, y$と独立なので，両辺とも定数となり，この定数を$\lambda$とおくと

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^{2}T} = \lambda.$$

これより

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} + \lambda$$

となり，ここでも左辺と右辺は定数となるので，この定数を$\alpha$とおくと次の3つの微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \alpha X = 0 ,$$

$$Y^{\prime\prime} - \beta Y = 0 ,$$

$$T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda T = 0 ,$$

ただし， $\beta = \lambda - \alpha$． ここで境界条件

$$u(0,y,t) = u(1,y,t) = 0 , u(x,0,t) = u(x,1,t) = 0$$

を用いると，Sturn-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \alpha X = 0, X(0) = X(1) = 0,$$

$$Y^{\prime\prime} - \beta Y = 0, Y(0) = Y(1) = 0$$

が得られる．この境界値問題の固有値と固有関数はそれぞれ

$$\alpha_{m} = -m^{2}\pi^{2} , X_{m}(x) = \sin{m\pi x} (m = 1,2,3,\ldots),$$

$$\beta_{n} = -n^{2}\pi^{2} , Y_{n}(x) = \sin{n\pi y} (n = 1,2,3,\ldots)$$

で与えられる．この $\alpha_{m}, \beta_{n}$に対して，$T$は

$$T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct + D_{mn}\sin{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct .$$

ここで初期条件 $u_{t}(x,y,0) = 0$より $T^{\prime}(0) = 0$となるので $D_{mn} = 0$．よって

$$T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct .$$

こうして，境界条件と初期条件を満たす解の列

$$u_{mn}(x,y,t) = \sin{m\pi x}\sin{n\pi y}C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct$$

が得られる．これらを重ね合わせて

$$u(x,y,t) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y}C_{mn}\cos{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\pi ct$$

が得られる．初期条件 $u(x,y,0) = f(x,y)$が満たされるためには

$$u(x,y,0) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}C_{mn}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y} = f(x,y)$$

が成り立たなければならない．この式から$C_{mn}$を定めよう．

$$C_{m} = \sum_{n=1}^{\infty}C_{mn}\sin{n\pi y}$$

とおくと

$$f(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty}C_{m}\sin{m\pi x}$$

と表わせる．これらはどちらもフーリエ正弦級数なので，その係数は

$$C_{mn} = \frac{2}{1}\int_{0}^{1}C_{m}\sin{n\pi y}dy$$

$$= \frac{2}{1}\int_{0}^{1}[\frac{2}{1}\int_{0}^{1}f(x,y)\sin{m\pi x}dx]\sin{n\pi y}dy$$

$$= 4\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)\sin{n\pi x}\sin{n\pi y}dxdy .$$

この$C_{mn}$を$u(x,y,t)$に代入すると解が得られる． $\blacksquare$