演習問題

1. 次の関数はLaplace方程式 $u_{xx} + u_{yy} = 0$を満たすことを示せ．
$$\begin{array}{ll} (a) \ u(x,y) = x^2 - y^2 & (b) \ u(x,y) = \... ...x,y) = ax + by + c & (d) \ u(x,y) = \cos{x}\cosh{y} \end{array}$$
2. 次の関数は拡散方程式 $u_{xx} - u_{t} = 0, t > 0$を満たすことを示せ．
$$\begin{array}{ll} (a) \ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{t}}e^{-\frac{... ...ax + b + c(x^2 + 2t) & (d) \ u(x,t) = e^{-t}\cos{x} \end{array}$$
3. 次の関数が解となる偏微分方程式を求めよ．
$$\begin{array}{l} (a) \ u(x,y) = \sin(x^{2} - y^{2}) \ \ \ (b) \ u(x,y) = \cos(x^2 + y^2) + x^2 \end{array}$$
4. $f(x^2 + y^2)$は $yu_{x} - xu_{y} = 0$の解であることを示せ．
5. $u(x,y) = f(x+y) + g(x-y)$は $u_{xx} - u_{yy} = 0$の解であることを示せ．
6. 二次元Laplace方程式を極座標で表わせ．