演習問題

1. 次のSturn-Liouville 問題を解け．
$(a) \ y^{\prime\prime} + \lambda y = 0, \ y^{\prime}(0) = 0, y^{\prime}(L) = 0$
$(b) \ y^{\prime\prime} + \lambda y = 0, \ y(0) = 0, y^{\prime}(L) = 0$
$(c) \ (xy^{\prime})^{\prime} + (\lambda/x)y = 0, \ y(1) = 0, y(e) = 0$
2. 次の微分方程式はChebyshevの微分方程式とよばれるものです．

$$(1-x^{2})y^{\prime\prime} - xy^{\prime} + p^{2}y = 0 \ -1 < x < 1$$

ここで$p$が負でない整数のとき,この方程式は多項式の解をもちます．この解を$x = 1$のとき$1$になるようにし$T_{n}(x)$で表わします．これを位数$n$のChebyshevの多項式といいます．最初のいくつかのChebyshevの多項式を表わすと次のようになります．

$$T_{0} = 1, T_{1} = x, T_{2} = 2x^{2} - 1, T_{3} = 4x^{3} - 3x , \ldots$$

ここでChebyshevの多項式全体の集合は区間$[-1,1]$で直交系をなすことを示せ．