階数低減法(Reduction of order)

高階線形微分方程式

の係数が定数でないとき，一般解を求めるのは非常に難しかったり，不可能だったりします．ただ $L(y) = 0$

の解がひとつでもわかれば高階線形微分方程式 $L(y) = f(x)$

を少し簡単な形に直すことができます．わかりやすいように2階の線形微分方程式を用いて示しましょう．

$\displaystyle L(y) = y^{\prime\prime} + a_{1}(x)y^{\prime} + a_{0}(x)y = f(x)$

に対する同次方程式

の0でない解 $y_{1}(x)$ がわかっているとします．ここで $y = u(x)y_{1}(x)$ とおいて $L(y) = f(x)$

に代入すると

$\displaystyle (u^{\prime\prime}y_{1} + 2u^{\prime}y_{1}^{\prime} + uy_{1}^{\pri... ...ime}) + a_{1}(x)(u^{\prime}y_{1} + uy_{1}^{\prime}) + a_{0}(x)(uy_{1}) = f(x).$

または

$\displaystyle y_{1}u^{\prime\prime} + (2y_{1}^{\prime} + a_{1}y_{1})u^{\prime} + (y_{1}^{\prime\prime} + a_{1}y_{1}^{\prime} + a_{0}y_{1})u = f(x)$

となります．ここで

の係数は $L(y_{1}) = 0$ より0になることに注意して， $u^{\prime} = w$ とおくと $w$

についての1階の線形微分方程式

$\displaystyle y_{1}w^{\prime} + (2y_{1}^{\prime} + a_{1}y_{1})w = f(x)$

を得ます．ここで行なった操作を階数低減法(reduction of order)といいます．

例題 2..5

$y_{1} = e^{x}$ が $y^{\prime\prime} - y = 0$ の解であることを利用して次の微分方程式を解け．

$\displaystyle y^{\prime\prime} - y = xe^{x}.$

解 $y = uy_{1} = ue^{x}$ とおくと $y^{\prime} = u^{\prime}e^{x} + ue^{x}, y^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}e^{x} + 2u^{\prime}e^{x} + ue^{x}$ . これらを $y^{\prime\prime} - y = xe^{x}$ に代入すると

$\displaystyle u^{\prime\prime}e^{x} + 2u^{\prime}e^{x} = xe^{x}.$

または

$\displaystyle u^{\prime\prime} + 2u^{\prime} = x.$

ここで $u^{\prime} = w$ とおくと $w$

についての 1階の線形微分方程式

$\displaystyle w^{\prime} + 2w = x$

を得る．これを解くと

$\displaystyle w = c_{1}e^{-2x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

となるので両辺を積分して

$\displaystyle u = \int w dx = -\frac{c_{1}}{2}e^{-2x} + \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + c_{2}$

を得る．最後に $y = ue^{x}$ より一般解

$\displaystyle y = -\frac{c_{1}}{2}e^{-x} + c_{2}e^{x} + (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4})e^{x}$

を得る． $\blacksquare$

例題 2..6

$L(x^{2}) \equiv 0$ を用いて

$\displaystyle L(y)= y^{\prime\prime\prime} + 2x^{2}y^{\prime\prime} -3xy^{\prime} + 2y = 0$

の階数を減らせ．

解 $y = ux^{2}$ とおくと $y^{\prime} = u^{\prime}x^{2} + 2ux$ , $y^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}x^{2} + 4u^{\prime}x + 2u,$ $y^{\prime\prime\prime} = u^{\prime\prime\prime}x^{2} + 6u^{\prime\prime}x + 6u^{\prime}$ より

$\displaystyle L(y) = L(ux^{2}) = x^{2}u^{\prime\prime\prime} + (2x^{4} + 6x)u^{\prime\prime} + (5x^{3} + 6)u^{\prime} = 0$

を得る．ここで $u^{\prime} = w$ とおくと

$\displaystyle x^{2}w^{\prime\prime} + (2x^{4} + 6x)w^{\prime} + (5x^{3} + 6)w = 0$

となり，階数がひとつ落ちた． $\blacksquare$

Subsections

演習問題2.2