4.2 解答

4.2

1.

(a) $P(x) = 1, Q(x) = 1, R(x) = e^{x}$より，$x = 0$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime} = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}$$

となる．また， $e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}/n!$より，これらを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

を得る．これらを整理すると

$$\sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1} + \sum_{n=0}^{\infty}(c_{n} - \frac{1}{n!})x^{n} = 0$$

となるので，ここで$x$のベキを一番小さな$n-1$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=1}^{\infty}[nc_{n} + c_{n-1} - \frac{1}{(n-1)!}]x^{n-1} = 0 .$$

右辺は恒等的に0なので，項別微分を行なうと，$x^{n-1}$の係数はすべて0になる．よって漸化式

$$nc_{n} + c_{n-1} - \frac{1}{(n-1)!} = 0 , \ n \geq 1 .$$

または

$$c_{n} = \frac{1}{n!} - \frac{c_{n-1}}{n}$$

を得る． ここで， $c_{0}$は初期条件$y(0)$ で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって， $c_{1},c_{2},\ldots$ を順次求めると

$$c_{1} = 1 - c_{0}, \ c_{2} = \frac{c_{0}}{2}, \ c_{3} = \frac{1}{3!} - \frac{c_{0}}{3!}, \cdots$$

これより，

$$c_{2n} = \frac{c_{0}}{(2n)!)}, c_{2n+1} = \frac{1 - c_{0}}{(2n+1)!} .$$

これを $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$ に代入すると

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{2n}x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{2n+1}x^{2n+1}$$

$$= c_{0}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} - c_{0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$= c_{0}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(n)!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

となりこの方程式の解は次の初等関数で表わせる．

$$y = c_{0}e^{-x} + \frac{e^{x}- e^{-x}}{2}. \ \ \framebox{終}$$

(b) $P(x) = 0, Q(x) = x, R(x) = 0$より，$x = 0$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime} = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}$$

$$y^{\prime\prime} = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2}$$

となる．これらを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+1} = 0$$

を得る．ここで$x$のベキを一番小さな$n-2$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=3}^{\infty} c_{n-3}x^{n-2} = 0 .$$

次に級数のインデックスを一番大きなものにそろえると，

$$2c_{2} + \sum_{n=3}^{\infty}[n(n-1)c_{n} + c_{n-3}]x^{n-2} = 0$$

右辺は恒等的に0なので，項別微分を行なうと，$x^{n-1}$の係数はすべて0になる．よって漸化式

$$c_{2} = 0, \ n(n-1)c_{n} + c_{n-3} = 0 , \ n \geq 3 .$$

または

$$c_{2} = 0, \ c_{n} = -\frac{c_{n-3}}{n(n-1)}$$

を得る． ここで， $c_{0},c_{1}$は初期条件 $y(0), y^{\prime}(0)$で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって， $c_{2},c_{3},\ldots$を順次求めると

$$c_{3} = -\frac{c_{0}}{3 \cdot 2}, \ c_{4} = -\frac{c_{1}}{4 \cdot 3}, \ c_{5} = 0, \cdots$$

これより

$$c_{3n} = \frac{c_{3n}}{c_{3n-3}}\frac{c_{3n-3}}{c_{3n-6}}\cdots\f... ...c_{3}}{c_{0}}c_{0} = \frac{(-1)^{n}(3n-2)(3n-5) \cdots 4 \cdot 1}{(3n)!}c_{0},$$

$$c_{3n+1} = \frac{c_{3n+1}}{c_{3n-2}}\frac{c_{3n-2}}{c_{3n-5}}\cdo... ...{4}}{c_{1}}c_{1} = \frac{(-1)^{n}(3n-1)(3n-4) \cdots 5 \cdot 2}{(3n+1)!}c_{1},$$

これを $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$に代入すると

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{3n}x^{3n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{3n+1}x^{3n+1}$$

ただし，

$$c_{3n} = \frac{(-1)^{n}(3n-2)(3n-5) \cdots 4\cdot1}{(3n)!}c_{0}, c_{3n+1} = \frac{(-1)^{n}(3n-1)(3n-4) \cdots 5\cdot2}{(3n+1)!}c_{1},$$

となる.

(c) $P(x) = x, Q(x) = -1, R(x) = x^2 e^x$より，$x = 0$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime} = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}$$

となる．これを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}$$

を得る．ここで$x$のベキを一番小さな$n$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n+2)!} = 0 .$$

次に級数のインデックスを一番大きなものにそろえると，

$$c_{1}x - c_{0} - c_{1}x + \sum_{n=2}^{\infty}[nc_{n} - c_{n} - \frac{1}{(n-2)!}]x^{n} = 0.$$

右辺は恒等的に0なので，項別微分を行なうと，$x^{n}$の係数はすべて0になる．よって漸化式

$$c_{0} = 0, \ (n-1)c_{n} - \frac{1}{(n-2)!} = 0 , \ n \geq 2 .$$

または

$$c_{0} = 0, \ c_{n} = \frac{1}{(n-1)!}$$

を得る． ここで，$c_{1}$は初期条件 $y^{\prime}(0)$で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって，

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}^{*}x^{n}$$

$$= c_{1}x + \sum_{n=2}^{\infty} c_{n} x^{n}$$

$$= c_{1}x + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1)!}$$

$$= c_{1}x + x(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} - 1)$$

となりこの方程式の解は次の初等関数で表わせる．

$$y = c_{1}x + x(e^{x} - 1). \ \ \framebox{終}$$

(d) $P(x) = x, Q(x) = -4, R(x) = 0$より，$x = 0$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime} = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}$$

$$y^{\prime\prime} = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2}$$

となる．これらを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty}nc_{n}x^{n} - 4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = 0$$

を得る．ここで$x$のベキを一番小さな$n$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=3}^{\infty}(n-2)c_{n-2}x^{n-2} - 4\sum_{n=2}^{\infty}c_{n-2}x^{n-2} = 0 .$$

次に級数のインデックスを一番大きなものにそろえると，

$$2c_{2} - 4c_{0} + \sum_{n=3}^{\infty}[n(n-1)c_{n} + (n-6)c_{n-2}]x^{n-2} = 0.$$

右辺は恒等的に0なので，項別微分を行なうと，$x^{n}$の係数はすべて0になる．よって漸化式

$$2c_{2} - 4c_{0} = 0, \ n(n-1)c_{n} + (n-6)c_{n-2} = 0 , \ n \geq 3$$

または

$$c_{2} = 2c_{0}, \ c_{n} = -\frac{(n-6)c_{n-2}}{n(n-1)}, \ n \geq 3$$

を得る． ここで， $c_{0},c_{1}$は初期条件 $y(0), y^{\prime}(0)$で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって， $c_{2},c_{3},\ldots$を順次求めると

$$c_{2} = 2c_{0}, \ c_{3} = \frac{-c_{1}}{2}, \cdots$$

これより

$$c_{2n} = \frac{c_{2n}}{c_{2n-2}}\frac{c_{2n-2}}{c_{2n-4}}\frac{c_{2n-4}}{c_{2n-6}}c_{2n-6}, n \leq 2 \ c_{2n} = 0, n \geq 3$$

また

$$c_{2n+1} = \frac{c_{2n+1}}{c_{2n-1}}\frac{c_{2n-1}}{c_{2n-3}}\cdo... ...{c_{3}}{c_{1}}c_{1} = \frac{3(-1)^{n}c_{1}}{2^n n! (2n+1)(2n-1)(2n-3)}x^{2n+1}$$

よって

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}^{*}x^{n}$$

$$= c_{0} + 2c_{0}x - \frac{c_{0}}{3}x^4 - c_{1}\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3(-1)^{n}}{2^n n! (2n+1)(2n-1)(2n-3)}x^{2n+1}$$

となる.

2.

(a) $P(x) = 0, Q(x) = x-2, R(x) = 0$より，$a = 2$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-2)^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime} = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}(x-2)^{n-1}$$

$$y^{\prime\prime} = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}(x-2)^{n-2}$$

となる．これらを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}(x-2)^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-2)^{n+1} = 0$$

を得る．ここで$(x-2)$のベキを一番小さな$n-2$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=3}^{\infty}c_{n-3}(x-2)^{n-2} = 0 .$$

次に級数のインデックスを一番大きな$n=3$にそろえると，

$$2c_{2}(x-2) + \sum_{n=3}^{\infty}[n(n-1)c_{n} + c_{n-3}](x-2)^{n-2} = 0.$$

右辺は恒等的に0なので，項別微分を行なうと，$(x-2)^{n}$の係数はすべて0になる．よって漸化式

$$c_{2} = 0, \ n(n-1)c_{n} + c_{n-3} = 0 , \ n \geq 3$$

または

$$c_{2} = 0, \ c_{n} = -\frac{c_{n-3}}{n(n-1)}, \ n \geq 3$$

を得る． ここで， $c_{0},c_{1}$は初期条件 $y(0), y^{\prime}(0)$で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって， $c_{2},c_{3},c_{4},\ldots$を順次求めると

$$c_{2} = 0, \ c_{3} = \frac{-c_{1}}{3\cdot 2}, c_{4} = \frac{-c_{1}}{4\cdot 3} \cdots$$

これより

$$c_{3n} = \frac{c_{3n}}{c_{3n-3}}\frac{c_{3n-3}}{c_{3n-6}}\cdots \frac{c_{3}}{c_{0}}c_{0}$$

$$= \frac{(-1)}{3n(3n-1)}\cdot \frac{(-1)}{(3n-3)(3n-4)}\cdots \frac{(-1)}{3\cdot 2}c_{0}$$

$$= \frac{(-1)^n (3n-2)(3n-5)\cdots4 \cdot 1 c_{0}}{(3n)!}$$

また

$$c_{3n+1} = \frac{c_{3n+1}}{c_{3n-2}}\frac{c_{3n-2}}{c_{3n-5}}\cdots \frac{c_{4}}{c_{1}}c_{1}$$

$$= \frac{(-1)}{(3n+1)(3n)}\cdot \frac{(-1)}{(3n-2)(3n-3)}\cdots \frac{(-1)}{4\cdot 3}c_{0}$$

$$= \frac{(-1)^n (3n-1)(3n-4)\cdots 2 c_{1}}{(3n+1)!}$$

$$c_{3n+2} = \frac{c_{3n+2}}{c_{3n-1}}\frac{c_{3n-1}}{c_{3n-4}}\cdots \frac{c_{5}}{c_{2}}c_{2} = 0.$$

よって

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{3n}(x-2)^{3n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{3n+1}(x-2)^{3n+1} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{3n+2}(x-2)^{3n+2}$$

$$= c_{0}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3n-2)(3n-5)\cdots4 \cdot 1 }{(3n)!}(x-2)^{3n}$$

$$+ c_{1}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3n-1)(3n-4)\cdots 2 }{(3n+1)!} (x-2)^{3n+1}$$

となる.

(b) $P(x) = x, Q(x) = 3, R(x) = x^2$より，$a = 1$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-1)^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime} = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}(x-1)^{n-1}$$

$$y^{\prime\prime} = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}(x-1)^{n-2}$$

となる．これらを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}(x-1)^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty}nc_{n}(x-1)^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}3c_{n}(x-1)^{n} = x^2$$

を得る．ここで$(x-1)$のベキを一番小さな$n-2$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=3}^{\infty}(n-2)c_{n-2}(x-1)^{n-2} + \sum_{n=2}^{\infty}3c_{n-2}(x-1)^{n-2}$$

$$= (x-1)^2 + 2(x-1) + 1 .$$

次に級数のインデックスを一番大きな$n=3$にそろえると，

$$2c_{2} + 3c_{0} + \sum_{n=3}^{\infty}[n(n-1)c_{n} + (n-2)c_{n-2} + 3c_{n-2}](x-1)^{n-2} = (x-1)^2 + 2(x-1) + 1.$$

両辺は恒等的に等しいので，

$$2c_{2} + 3c_{0}= 1, 6c_{3} + c_{1} + 3c_{1} = 2, 12c_{4} + 2c_{2} + 3c_{2} = 1,$$

$$n(n-1)c_{n} + (n+1)c_{n-2} = 0 , \ n \geq 5$$

ここで， $c_{0},c_{1}$ は初期条件 $y(0), y^{\prime}(0)$ で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって， $c_{2},c_{3},c_{4},\ldots$ を順次求めると

$$c_{2} = \frac{1-3c_{0}}{2}, c_{3} = \frac{1-3c_{1}}{3}, c_{4} = \frac{-1 + 5c_{0}}{8}, \ c_{n} = -\frac{(n+1)c_{n-2}}{n(n-1)}, \ n \geq 5$$

を得る． これより

$$c_{2n} = \frac{c_{2n}}{c_{2n-2}}\frac{c_{2n-2}}{c_{2n-4}}\cdots \frac{c_{6}}{c_{4}}c_{4}$$

$$= \frac{(-1)(2n+1)}{2n(2n-1)}\cdot \frac{(-1)(2n-1)}{(2n-2)(2n-3)}\cdots \frac{(-1)7}{6\cdot 5}c_{4}$$

$$= \frac{(-1)^n (2n+1)}{2^n n!}\frac{4\cdot 3}{-5}\cdot \frac{2\cdot 1}{-3}c_{4}$$

$$= \frac{(-1)^n (2n+1)}{2^n n!}\frac{4\cdot 3}{-5}\cdot \frac{2\cdot 1}{-3}(\frac{-1 + 5c_{0}}{8})$$

$$= \frac{(-1)^n (2n+1)}{2^n n!}(c_{0} - \frac{1}{5})$$

また

$$c_{2n+1} = \frac{c_{2n+1}}{c_{2n-1}}\frac{c_{2n-1}}{c_{2n-3}}\cdots \frac{c_{5}}{c_{3}}c_{3}$$

$$= \frac{(-1)(2n+2)}{(2n+1)(2n)}\cdot \frac{(-1)(2n)}{(2n-1)(2n-2)}\cdots \frac{(-1)6}{5 \cdot 4}c_{3}$$

$$= \frac{(-1)^n 2^n (n+1)!}{(2n+1)!}(\frac{3\cdot 2}{-4})c_{3}$$

$$= \frac{(-1)^n 2^n (n+1)!}{(2n+1)!}(\frac{3\cdot 2}{-4} \cdot \frac{2-4c_{1}}{6})$$

$$= \frac{(-1)^n 2^n (n+1)!}{(2n+1)!}(c_{1} - \frac{1}{2})$$

よって

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{2n}(x-1)^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{2n+1}(x-1)^{2n+1}$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+1)}{2^n n!}(c_{0} - \frac{1}{5})(x-1)^{2n}$$

$$+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n (n+1)!}{(2n+1)!}(c_{1} - \frac{1}{2})(x-1)^{2n+1}$$

となる.