5.3 実積分への応用

1．

(a)

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + x + 1}\ dx$

より閉曲線

を実軸上の

と

を結ぶ直線と

と

を結ぶ半径

，中心0の曲線 $C_{R}$ とすると，

$\displaystyle \int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1}\ dz = \int_{-R}^{R}\frac{1}{x^2 + x + 1}\ dx + \int_{C_{R}}\frac{1}{z^2 + z + 1}\ dz$

と表わせる．ここで， $\int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1}\ dz$ を求めると，特異点は $z = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} = e^{-\frac{2\pi i}{3}}$ であるが， $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} = e^{-\frac{2\pi i}{3}}$ だけが曲線 $C$

の内部にあるので，留数定理により

$\displaystyle \int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)}\ dz = 2\pi i(Res[e^{-\frac{2\pi i}{3}}])$

で求まる．なお，

$\displaystyle Res[\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}]$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}}(z - \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})\frac{1}{z^2 + z + 1}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}}\frac{1}{2z + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} i} \ (ロピタルの定理より)$

より

$\displaystyle \int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1}\ dz = 2\pi i(\frac{1}{\sqrt{3}i}) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$

次に， $\int_{C_{R}}\frac{1}{z^2 + z+ 1}\ dz \rightarrow 0 \ (R \to \infty)$ を示せれば，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2 + x + 1}\ dx = \int_{C}\frac{1}{z^2 + z + 1}\ dz = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$

となり，実積分を求めたことになる．そこで $\int_{C_{R}}\frac{1}{z^2 + z+ 1}\ dz \rightarrow 0 \ (R \to \infty)$ を示す．

$\displaystyle \vert z_{1} + z_{2}\vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{2}\vert, \ \vert z_{1} - z_{2}\vert \geq \vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert$

であることに注意すると

$\displaystyle \vert z^2 + z + 1\vert$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \vert z^2 - (-z-1)\vert \geq \vert z^2\vert - \vert-(z+1)\vert = \vert Z^2\vert - \vert z\vert -1 = R^2 - R -1$

より

$\displaystyle \vert\frac{1}{z^2 + z + 1}\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \frac{1}{\vert z^2\vert - \vert z\vert -1}$
	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \frac{1}{R^2 - R -1} \to 0 \ (R \to \infty)$

(b)

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\ dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\ dx$

より閉曲線

を実軸上の

と

を結ぶ直線と

と

を結ぶ半径

，中心0の曲線 $C_{R}$ とすると，

$\displaystyle \int_{C}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\ dz = \int_{-R}^{R}\frac{1}{(x^2 +1)(x^2 +4)}\ dx + \int_{C_{R}}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\ dz$

と表わせる．ここで， $\int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)}\ dz$ を求めると，特異点は $z = \pm i, \pm 2i$ であるが， $z = i, 2i$

だけが曲線

の内部にあるので，留数定理により

$\displaystyle \int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)}\ dz = 2\pi i(Res[i] + Res[2i])$

で求まる．なお，

$\displaystyle Res[i] = \lim_{z \to i}(z - i)\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to i}\frac{1}{(z+i)(z^2 +4)} = \frac{1}{2i(3)} = \frac{1}{6i}$

$\displaystyle Res[2i] = \lim_{z \to 2i}(z - 2i)\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to 2i}\frac{1}{(z^2 + 1)(z + 2i)} = \frac{1}{-3(4i)} = \frac{-1}{12i}$

より

$\displaystyle \int_{C}\frac{1}{(z^2 +1)(z^2 +4)}\ dz = 2\pi i(\frac{1}{6i} - \frac{1}{12i}) = 2\pi i (\frac{1}{12 i}) = \frac{\pi}{6}$

次に， $\int_{C_{R}}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\ dz \rightarrow 0 \ (R \to \infty)$ を示せれば，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2 +1)(x^2 +4)}\ dx = \int_{C}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\ dz = \frac{\pi}{6}$

となり，実積分を求めたことになる．そこで $\int_{C_{R}}\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\ dz \rightarrow 0 \ (R \to \infty)$ を示す．

$\displaystyle \vert z^2 + 1\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert z^2 - (-1)\vert \geq \vert z^2\vert - \vert-1\vert = \vert Z^2\vert - 1 = R^2 -1$
$\displaystyle \vert z^2 + 4\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert z^2 - (-4)\vert \geq \vert z^2\vert - \vert-4\vert = \vert z^2\vert - 4 = R^2 - 4$

より

$\displaystyle \vert\frac{1}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \frac{1}{\vert z^2 + 1\vert\vert z^2 + 4\vert}$
	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \frac{1}{R^2 -1}\frac{1}{R^2 - 4} \to 0 \ (R \to \infty)$