4.2 複素積分

1. 単位円をパラメター化すると， $z(t) = e^{it}，\ 0 \leq t \leq 2\pi$. これより

$$\int_{C}z\cos{z}dz = \int_{0}^{2\pi}e^{it}\cos(e^{it})ie^{it}dt \ \left(\begin{array}... ... = ie^{it}\cos(e^{it})dt\\ du = ie^{it}dt & v = sin(e^{it}) \end{array}\right.$$

$$= e^{it}\sin(e^{it})\mid_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi}ie^{it}\sin(e^{it})dt$$

$$= \cos(e^{it})\mid_{0}^{2\pi} = \cos(e^{2\pi i}) - \cos(0) = 0$$

2.

case1. 正方形の辺に沿って，積分経路を0から$1$,$1$から$1+i$ととる．

0と$1$を結ぶ直線$c_{1}$は， $z(t) = (0,0) + (1,0)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = t, y(t) = 0, \ 0 \leq t \leq 1$. これより $z = x + iy = t$ となり

$$\int_{c_{1}}\bar{z} dz = \int_{0}^{1}t (dt) = \frac{t^2}{2} \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

$1$と$1+i$を結ぶ直線$c_{2}$は， $z(t) = (1,0) + (0,1)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = 1, y(t) = t, \ 0 \leq t \leq 1$. これより $z = x + iy = 1 + it$となり

$$\int_{c_{2}}\bar{z} dz = \int_{0}^{1}(1 -it) (idt) = \int_{0}^{1}(i + t)dt = [it + \frac{t^2}{2} \mid_{0}^{1} = i + \frac{1}{2}$$

これより求める積分は

$$\int_{c}\bar{z}dz = \int_{c_{1}}\bar{z} dz + \int_{c_{2}}\bar{z} dz = 1 + i$$

case2. 正方形の辺に沿って，積分経路を0から$i$,$i$から$1+i$ととる．

0と$i$を結ぶ直線$c_{3}$は， $z(t) = (0,0) + (0,1)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = 0, y(t) = 1, \ 0 \leq t \leq 1$. これより $z = x + iy = it$ となり

$$\int_{c}\bar{z} dz = \int_{0}^{1}(-it) (i dt) = \frac{t^2}{2} \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

$i$と$1+i$を結ぶ直線$c_{4}$は， $z(t) = (0,1) + (1,0)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = t, y(t) = 1, \ 0 \leq t \leq 1$. これより $z = x + iy = t + i$となり

$$\int_{c}\bar{z} dz = \int_{0}^{1}(t-i) (dt) = [\frac{t^2}{2} - it \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} - i$$

これより求める積分は

$$\int_{c}\bar{z}dz = \int_{c_{3}}\bar{z} dz + \int_{c_{4}}\bar{z} dz = 1 - i$$

case3. 正方形の対角線に沿って，積分経路を0から$1+i$ととる．

0と$1+i$を結ぶ直線$c_{5}$は， $z(t) = (0,0) + (1,1)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = t, y(t) = t, \ 0 \leq t \leq 1$. これより $z = x + iy = t+ it$ となり

$$\int_{c_{5}}\bar{z} dz = \int_{0}^{1}(t-it) (1+i) dt = \int_{c_{5}} 2t dt = t^{2}\mid_{0}^{1} = 1$$