線積分とグリーンの定理

練習問題4.1

1. 次の線積分を求めよ．

(a)

$\int_{c}y dx, \ C: y = 1 -x, \ 0 \leq x \leq 1$

(b)

$\int_{c}x^2 dy, \ C: y = 1 -x, \ 0 \leq x \leq 1$

(c)

$\int_{c}(xy dx - y^2 dy), \ C: y = x^2, \ -1 \leq x \leq 1$

(d)

$\int_{c}(xy dx - x^3 dy), \ C: x = \cos{\theta}, y = \sin{\theta}, \ 0 \leq \theta \leq 2\pi$

2. 媒介変数$t$に関する次の線積分を求めよ．

(a)

$\int_{c}(x^2 + y)dt, \ C: x = \sqrt{t}, y = 1 - t^2, \ 0 \leq t \leq 1$

(b)

$\int_{c}xy^2 dt, \ C: x = \sin{t}, y = \sin^{2}{t}, \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$

3. Greenの定理を用いて次の線積分の値を求めよ．

(a)

$\int_{c}(x^2 y dx - xy^2 dy), \ C:$   単位円周

(b)

$\int_{c}(y dx + 2x dy), \ C:$   第1象限にある四分円の周