線積分とグリーンの定理

$P(x,y)$と$Q(x,y)$が$x,y$の実関数で曲線$C$上の全ての点で連続であるとする．このとき，曲線$C$に沿った $P\;dx + Q\;dy$の 線積分は

$$\int_{C} [P(x,y)\;dx + Q(x,y)\;dy]$$

で定義される．ここで，曲線$C$が滑らかで，媒介変数表示 $x = \phi(t), y = \psi(t)$, $t_{1} \leq t \leq t_{2}$が可能なとき，線積分は

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}[P(\phi(t),\psi(t))\;dt + Q(\phi(t),\psi(t))\;dt]$$

で与えることができる．

定理 4..1   グリーンの定理

$C$を単一閉曲線とし，$\Omega$をその周および内部からなる閉領域とする．関数 $P(x,y), Q(x,y)$が$\Omega$で連続な偏導関数をもつとき，

$$\int_{C}Pdx + Qdy = \iint_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\;dx\;dy$$

練習問題4.1

1. 次の線積分を求めよ．

(a)

$\int_{c}y dx, \ C: y = 1 -x, \ 0 \leq x \leq 1$

(b)

$\int_{c}x^2 dy, \ C: y = 1 -x, \ 0 \leq x \leq 1$

(c)

$\int_{c}(xy dx - y^2 dy), \ C: y = x^2, \ -1 \leq x \leq 1$

(d)

$\int_{c}(xy dx - x^3 dy), \ C: x = \cos{\theta}, y = \sin{\theta}, \ 0 \leq \theta \leq 2\pi$

2. 媒介変数$t$に関する次の線積分を求めよ．

(a)

$\int_{c}(x^2 + y)dt, \ C: x = \sqrt{t}, y = 1 - t^2, \ 0 \leq t \leq 1$

(b)

$\int_{c}xy^2 dt, \ C: x = \sin{t}, y = \sin^{2}{t}, \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$

3. Greenの定理を用いて次の線積分の値を求めよ．

(a)

$\int_{c}(x^2 y dx - xy^2 dy), \ C:$   単位円周

(b)

$\int_{c}(y dx + 2x dy), \ C:$   第1象限にある四分円の周