極限と連続

$z_{0}$の近傍 $0 < \vert z - z_{0}\vert < A$で定義された$w = f(z)$において， $\vert z - z_{0}\vert \to 0$に対して $\vert w - w_{0}\vert \to 0$となるとき，つまり任意の正の数 $\varepsilon > 0$に対して， $0 < \delta < A$なる適当な$\delta$が定まり， $0 < \vert z - z_{0}\vert < \delta$なるすべての$z$に対して $\vert w - w_{0}\vert < \varepsilon$が成り立つとき，$f(z)$は極限値$w_{0}$をもつといい， $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = w_{0}$と書く．

注 $z \to z_{0}$の方向は無数にあるが，どんな方向から$z_{0}$に近づいても， $w \to w_{0}$となることである．

$\lim_{z \to z_{0}}\vert w\vert = + \infty$のとき $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = \infty$と定める．実関数の場合，$+\infty$と$-\infty$と2つの場合があったが，上の定義より複素関数の場合は$+\infty$の場合しかない．

定理 3..1  

$\lim_{z \to z_{0}}f(z) = A, \ \lim_{z \to z_{0}}f(z) = B$が存在して有限ならば

(1) $\lim_{z \to z_{0}}\{f(z) \pm g(z)\} = A \pm B = \lim_{z \to z_{0}}f(z) \pm \lim_{z \to z_{0}}g(z)$

(2) $\lim_{z \to z_{0}}\{f(z)\cdot g(z)\} = AB$

(3) $\lim_{z \to z_{0}}\{\frac{f(z)}{g(z)}\} = \frac{A}{B} \ (B \neq 0)$

領域$D$で定義された$w = f(z)$において，$D$内の点$z_{0}$で $\lim_{z \to z_{0}}f(z) = f(z_{0})$が成り立つとき，つまり任意の正の数 $\varepsilon > 0$に対して適当な $\delta > 0$が定まって， $\vert z - z_{0}\vert < \delta$なる全ての$z$に対して $\vert f(z) - f(z_{0})\vert < \varepsilon$が成り立つとき，$f(z)$は$z_{0}$で連続であるという．

$f(z)$が領域$D$の各点で連続のとき，$f(z)$は$D$で連続であるという．

定理 3..2  

(1) $f(z)，g(z)$が$z_{0}$で連続であれば， $f(z) \pm g(z), f(z)\cdot g(z), f(z)/g(z) \ (ただし g(z_{0}) \neq 0)$はいずれも$z_{0}$で連続である．

(2) $F(w)$は$w = w_{0}$で連続，$w = f(z)$は$z_{0}$で連続で， $w_{0} = f(z_{0})$ならば合成関数$F(f(z))$は$z_{0}$で連続である．

例題 3..1  

次の$f(z)$に対し， $\lim_{z \to 0}f(z)$を調べよ．

(1) $f(z) = \frac{\bar{z}}{z}$

(2) $f(z) = \frac{1}{z}$

(3) $f(z) = \frac{z^2}{z}$

解 (1) $f(z) = \frac{\bar{z}}{z} = \frac{x - iy}{x + iy}$であるから，$z$が直線$y = mx$に沿って$z \to 0$のとき $f(z) = \frac{1 - im}{1 + im}$は$m$の価によって異なる価をとる．よって， $\lim_{z \to 0}f(z)$は存在しない．

(2) $\lim_{z \to 0}\vert f(z)\vert = \lim_{z \to 0}\frac{1}{\vert z\vert} = + \infty$．よって $\lim_{z \to 0}\frac{1}{z} = \infty$

(3) $z \neq 0$のとき， $f(z) = \frac{z^2}{z} = z$．よって $\lim_{z \to 0}f(z) = \lim_{z \to 0}z = 0$.

練習問題3.1

1. 次の点集合は領域であるかどうか調べよ．

(a)

$z$ 平面から原点Oを除いた集合

(b)

$\{z : \Re{z} > 0\}$

(c)

$\{z : \Im {z} \geq 0\}$

(d)

$\{z : 1 < \vert z\vert < 2\}$

2. 次の極限値を求めよ．

(a)

$${\lim_{z \to i}(z^2 + 2z)}$$

(b)

$${\lim_{z \to \frac{i}{2}}\frac{(2z-3)(z+i)}{(iz - 1)^2}}$$

(c)

$${\lim_{z \to 1+i}\frac{z - 1 -i}{z^2 - 2z + 2}}$$

(d)

$${\lim_{z \to e^{i\pi/4}}\frac{z^2}{z^4 + z + 1}}$$

3. 次の関数が連続でない点を求めよ．

(a)

$z^2$

(b)

$e^z$

(c)

$\frac{2z}{z+ i}$

(d)

$\frac{2z - 3}{z^2 + 2z + 2}$

(e)

$\frac{z+1}{z^4 + 1}$

(f)

$\frac{z^2 + 4}{z - 2i}$

(g)

$f(z) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{z^2 + 4}{z - 2i} & (z \neq 2i)\\ 4i & (z = 2i) \end{array}\right.$