陰関数(implicit functions)

演習問題

1.: 次の式から定まる陰関数について， $\displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ を求めよう．
(a): $\displaystyle{2x^2+ 5xy - 3y^2 = 1}$
(b): $\displaystyle{y = e^{x+y}}$
(c): $\displaystyle{x^2 - y^2 = xy}$
(d): $\displaystyle{\log{\sqrt{x^2 + y^2}} = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}}$
2.: 次の式から定まる陰関数について， $\displaystyle{\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx}}$ を求めよう．
(a): $\displaystyle{x^2 +y^2 + z^2 = 4, x^2 + y^2 = 4x}$
(b): $\displaystyle{xyz = 1, xy + yz + zx = 1}$
3.: 楕円上の点 $(1,\sqrt{2})$ における接線と法線を求めよう．
4.: 曲面 $\displaystyle{z = \tan^{-1}\frac{y}{x}}$ 上の点 $(1,1,\frac{\pi}{2})$ における接平面と法線を求めよう．