曲線(space curves)

演習問題

1.: 次の曲線の接線ベクトルと与えられた点を通る接線の方程式を求めよう．
(a): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (e^{t}, e^{-t}, -\log{t}) t = 1}$
(b): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (\cos{\pi t}, \sin{\pi t}, t) t = 2}$
2.: 次のパラメター化された曲線をの方程式で表わそう．
(a): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (at, bt^{2})}$
(b): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (t^{3}, t^{2})}$
(c): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (\cos{2t},\sin{2t},t)}$
3.: 次の曲線の弧長を求めよう．
(a): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (t, \log{(\sec{t})}, 3) \ \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}}$
(b): $\displaystyle{{\bf r}(t) = e^{t}(\cos{t}, \sin{t}) \ \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq \pi}$
(c): $\displaystyle{x^{2/3} + y^{2/3} = 1 \ \mbox{ただし}， y \geq 0}$
4.: 次の曲線の曲率を求めよう．
(a): $\displaystyle{y = e^{-x}}$
(b): $\displaystyle{y = \log{(\sec{x})}}$
(c): $\displaystyle{{\bf r}(t) = (3\cos{t},3\sin{t})}$