ベクトル関数(vector functions)

演習問題

1.
次の問に答えよう.
(a)
$ \displaystyle{{\bf F}(t) = (\sin{t}, \cos^{2}{t}, t^{2})}$ のとき, $ \displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t)}$ を求めよう.
(b)
$ \displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t) = (\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{1}{1 + t^2}, \tan{t})}$ のとき, $ {\bf F}(t)$ を求めよう.
(c)
$ {\bf F}(t),{\bf G}(t)$$ t$ について微分可能なベクトル関数のとき,

$\displaystyle ({\bf F} \cdot {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \cdot {\bf G} + {\bf F} \cdot {\bf G}^{\prime} $

が成り立つことを証明しよう.
(d)
$ {\bf F}(t),{\bf G}(t)$$ t$ について微分可能なベクトル関数のとき,

$\displaystyle ({\bf F} \times {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \times {\bf G} + {\bf F} \times {\bf G}^{\prime} $

が成り立つことを示そう.
(e)
定理5.1(b),(c),(d)を証明しよう.