ベクトル関数(vector functions)

演習問題

1.

次の問に答えよう．

(a)

$\displaystyle{{\bf F}(t) = (\sin{t}, \cos^{2}{t}, t^{2})}$ のとき， $\displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t)}$ を求めよう．

(b)

$\displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t) = (\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{1}{1 + t^2}, \tan{t})}$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

(c)

${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が

について微分可能なベクトル関数のとき，

$\displaystyle ({\bf F} \cdot {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \cdot {\bf G} + {\bf F} \cdot {\bf G}^{\prime}$

が成り立つことを証明しよう．

(d)

${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が

について微分可能なベクトル関数のとき，

$\displaystyle ({\bf F} \times {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \times {\bf G} + {\bf F} \times {\bf G}^{\prime}$

が成り立つことを示そう．

(e)

定理5.1(b)，(c)，(d)を証明しよう．