定積分の応用(applications of definite integral)

演習問題

1.: 次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよう．
(a): $\displaystyle{x = y^{2} , x = 3 -2y^{2}}$
(b): $\displaystyle{x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t}, (0 \leq t \leq \pi)}$ と軸
2.: 次の平面図形を軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよう．
(a): $\displaystyle{x^{2}+ (y-2)^{2} \leq 1}$
(b): $\displaystyle{ x = t - \sin{t}, y = 1 - \cos{t}, 0 \leq t \leq 2\pi}$ と軸で囲まれる部分．
3.: 次の曲線の長さを求めよう．
(a): $\displaystyle{x^{2/3} + y^{2/3} = 1}$ の全長
(b): $\displaystyle{\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1}$ の全長
(c): $\displaystyle{r = 1+\cos{\theta}}$ の全長