定積分の定義の拡張(extension of definite integrals)

演習問題

1.: 次の広義積分を求めよう．
(a): $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}$
(b): $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{x}}$
(c): $\displaystyle{\int_{0}^{1}\log{x}dx}$
2.: 次の無限積分を求めよう．
(a): $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}xe^{-x}dx}$
(b): $\displaystyle{\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\log{x})^{\alpha}}dx}$
(c): $\displaystyle{\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha} \log{x}} dx}$
3.: 次の積分の収束，発散について調べよう．
(a): $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\cos{x}}}}$
(b): $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\log{x}}{\sqrt{x}}}$