定積分(definite integral)

演習問題

1.: 関数が連続であるとき，を求めよう．
(a): $\displaystyle{g(x) = \frac{d}{dx}\int_{x}^{b}f(t)dt}$
(b): $\displaystyle{g(x) = \frac{d}{dx}\int_{x}^{x+1}f(t)dt}$
(c): $\displaystyle{g(x) = \frac{d}{dx}\int_{0}^{2x}x^{2}f(t)dt}$
2.: 次の定積分を計算しよう．
(a): $\displaystyle{\int_{1}^{5}2\sqrt{x-1}dx}$
(b): $\displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{2-t}{t^{3}}dt}$
(c): $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}dx}$
(d): $\displaystyle{\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}dx}$
(e): $\displaystyle{\int_{0}^{\log{2}} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}dx}$
3.: 定理3.8(2)，(3)，(4)，(5)を証明しよう．
4.: 次の不等式を証明しよう．
(a): $\displaystyle{\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x^n}dx < 1 (n > 2)}$
(b): $\displaystyle{\frac{1}{2n+2} \leq \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1 + x}dx \leq \frac{1}{n} (n \geq 1)}$
5.: 次の極限値を求めよう．
(a): $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)}$
(b): $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{1}{n^2 + i^2}}}$
(c): $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \int_{0}^{x} \tan{(t^2)}dt}$