2.7 解答

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{3x}} = (\frac{0}{0})}$ の不定形．よってL'Hospitalの定理より

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{3x}}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2\cos{2x}}{3\cos{3x}} = \frac{2}{3}$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{\cos{x} - 1}{x} = (\frac{0}{0})}$ の不定形．よってL'Hospitalの定理より

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\cos{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sin{x}}{1} = 0$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{-1}{x}}{x} = (\frac{0}{0})}$ の不定形．よってL'Hospitalの定理より

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{-1}{x}}{x}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 1$

$\displaystyle 0 \leq \vert x \sin{\frac{1}{x}}\vert = \vert x\vert\vert\sin{\frac{1}{x}}\vert \leq \vert x\vert$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^{2}{x}}) = \infty - \infty}$ の不定形．L'Hospitalの定理を用いるには $(\frac{0}{0}),(\frac{\infty}{\infty})$ の不定形でなければならないので，変形すると

$\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^{2}{x}})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}{x} - x^2}{x^2 \sin^{2}{x}} = (\frac{0}{0})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{2x} - 2}{2x \sin^{2}{x} + 2x^2 \sin{2x}} = \lim_{x \to 0}\frac{2\cos{2x} - 2}{2\sin^{2}{x} + 4x \sin{2x} + 2x^2 \cos{2x}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin{2x}}{6\sin{2x} + 12x \cos{2x} - 4x^2 \sin{2x}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-8\cos{2x}}{24 \cos{2x} - 32 x \sin{2x} + 8x^2 \cos{2x} } = -\frac{1}{3}$

$\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(1 - \sin{x})^{\cos{x}} = (0^{0})}$ の不定形．L'Hospitalの定理を用いるには $(\frac{0}{0}),(\frac{\infty}{\infty})$ の不定形でなければならないので変形する．ここで， $e^{\log{g(x)}} = g(x)$ に注意すると $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(1 - \sin{x})^{\cos{x}} = e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos{x}\log{(1 - \sin{x})}} = (0 \cdot \infty)}$ の不定形．もう一度変形すると $\displaystyle{e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos{x}\log{(1 - \sin{x})}} = e^{\l... ...o \frac{\pi}{2}}\frac{\log{(1 - \sin{x})}}{\frac{1}{\cos{x}}}} = (\frac{0}{0})}$ よって $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\log{(1 - \sin{x})}}{\frac{1}{\cos{x}}}}$ にL'Hospitalの定理を用いると

$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\log{(1 - \sin{x})}}{\frac{1}{\cos{x}}}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{-\cos{x}}{1 - \sin{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}}}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-\cos^{3}{x}}{\sin{x}(1 - \sin{x})}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{3\cos^{2}{x}\sin{x}}{\cos{x} - \sin{2x}}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-6\sin^{2}{x}\cos{x} + 3\cos^{3}{x}}{-\sin{x} - 2\cos{2x}}} = e^{0} = 1$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}(\frac{e^{x} - 1}{x})^{1/x} = (1^{\infty})}$ の不定形．L'Hospitalの定理を用いるには $(\frac{0}{0}),(\frac{\infty}{\infty})$ の不定形でなければならないので変形する．ここで， $e^{\log{g(x)}} = g(x)$ に注意すると $\displaystyle{\lim_{x \to 0}(\frac{e^{x} - 1}{x})^{1/x} = e^{\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \log{(\frac{e^{x} - 1}{x})}} = (\infty \cdot 0)}$ の不定形．もう一度変形すると $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{1}{x} \log{(\frac{e^{x} - 1}{x})} = \lim_{x \to 0}\frac{\log{\frac{e^{x} - 1}{x})}}{x} = (\frac{0}{0})}$ よってL'Hospitalの定理より

$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\log{\frac{e^{x} - 1}{x})}}{x}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{xe^{x} - e^{x} + 1}{x^2}}{\frac{e^x - 1}{x}}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{xe^{x} - e^{x} + 1}{xe^x - x}} = e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{xe^{x}}{xe^x + e^x - x}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{xe^{x} + e^{x}}{xe^x + e^x + e^{x}}} = e^{1/2}$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}(1 - x)^{1/sin{x}} = (1^{\infty})}$ の不定形．L'Hospitalの定理を用いるには $(\frac{0}{0}),(\frac{\infty}{\infty})$ の不定形でなければならないので変形する．ここで， $e^{\log{g(x)}} = g(x)$ に注意すると $\displaystyle{\lim_{x \to 0}(1 - x)^{1/sin{x}} = e^{\lim_{x \to 0}\frac{1}{sin{x}} \log{(1 - x)}} = (\infty \cdot 0)}$ の不定形．もう一度変形すると $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sin{x}} \log{(1 - x)} = \lim_{x \to 0}\frac{\log{1 -x}}{\sin{x}} = (\frac{0}{0})}$ よってL'Hospitalの定理より

$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\lim_{x \to 0}\frac{\log{1 -x}}{\sin{x}}}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{-1}{1-x}}{\cos{x}}} = e^{-1}$