スカラー場とベクトル場(scalar field and vector field)

演習問題

1.

次の曲面の法線単位ベクトルと接平面を与えられた点で求めよう．

(a)

$\displaystyle{z = (x^2 - y^2) : \ \mbox{点} \ (1,1,0)}$

(b)

$\displaystyle{2x - 4y^2 + z^3 = 0 : \ \mbox{点} \ (-4,0,2)}$

(c)

$\displaystyle{\cos{x} + \sin{y} + z = 1 : \ \mbox{点} \ (0, \pi,0)}$

2.

中心が原点にある鉄球の密度は次の関数で与えられている．

$\displaystyle \rho(x,y,z) = ke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}$

(a)

点

ではどの方向が密度の増加が一番大きいか求めよう．

(b)

点

ではどの方向が密度の増加が一番小さいか求めよう．

3.

次のベクトル場Fの力線を求めよう．

(a)

${\bf F}(x,y) = (-2y,x)$

(b)

${\bf F}(x,y) = (x,-y)$