3重積分(triple integrals)

演習問題

1.: $\displaystyle{T = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq y \leq z \leq 1 \}}$ のとき，次の3重積分を求めよう．
(a): $\displaystyle{\iiint_{T} dx dydz}$
(b): $\displaystyle{\iiint_{T}e^{x+y+z} dxdydz }$
2.: 次の3重積分を求めよう．
(a): $\displaystyle{\iiint_{T} dx dydz, T = \{(x,y,z):\sqrt{x^2 + y^2} \leq z \leq 3 \}}$
(b): $\displaystyle{\iiint_{T}(x^2 + y^2 + z^2) dxdydz, T = \{(x,y,z):\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\} }$
3.: 次の閉領域の重心を求めよう．
(a): 密度一定のとき，と $\displaystyle{y = x^2}$ とで囲まれた閉領域
(b): 密度が中心からの距離に比例するときの，半球 $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2, z \geq 0}$
(c): 密度一定のとき，底面の半径が，高さがの直円錐．
(d): 密度一定のとき， $\displaystyle{ax \leq x^2 + y^2 \leq a^2}$ であらわせる領域
(e): 例題7.15の三角錐の重心 $\bar y, \bar z$
(f): 密度が原点からの距離に比例するときの， $\displaystyle{ax \leq x^2 + y^2 \leq a^2}$ であらわせる領域