2重積分の応用(application of double integrals)

演習問題

1.: 次の図形の面積を求めよう．
(a): 曲線 $\displaystyle{x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t} (0 \leq t \leq \frac{\pi}{2})}$ と両軸とで囲む部分
(b): $\displaystyle{r = a\cos{3\theta} (a > 0)}$ の囲む部分
(c): 曲線 $\displaystyle{y = \frac{8}{x^2 + 4}}$ と $\displaystyle{y = \frac{x^2}{4}}$ で囲む部分
2.: 次の曲面の曲面積を求めよう．
(a): 半径の球面 $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 = a^2}$
(b): の $\displaystyle{x^2 + y^2 \leq a^2}$ に対応する部分
(c): 円柱 $\displaystyle{x^2 + z^2 = a^2}$ が円柱 $\displaystyle{x^2 + y^2 = a^2}$ によって切り取られる部分
(d): $y = mx (0 \leq x \leq k)$ を軸の回りに回転してできる曲面
3.: 次の立体の体積を求めよう．
(a): 円柱 $\displaystyle{x^2 + y^2 \leq a^2}$ の $0 \leq z \leq x$ の部分
(b): $\displaystyle{0 \leq z \leq 1 - x^2, x \leq 1 - y^2, x \geq 0, y \geq 0}$ で定まる閉領域
(c): 球 $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 \leq a^2}$ と円柱 $\displaystyle{x^2 + y^2 \leq ax}$ の共通部分
(d): 円錐面 $\displaystyle{z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}}$ と平面およびで囲まれる部分