3.7 定積分

1.

1 区間$[0,1]$を$n$等分する．$x$軸上の点 $\frac{i}{n}$に対応する値 $(\frac{i}{n})^2$を高さとし，底辺が $\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n} = \frac{1}{n}$を底辺とする長方形を考える．この長方形を$x = 0$から$x = 1$までの間で加えると，Riemann和とよばれる次の和を得る．

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2$$

$f(x) = x^2$は区間$[0,1]$で連続なので，

$$\int_{0}^{1}x^2 \; dx = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2$$

$$= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \frac{1}{3}$$

2.

$F'(x) = f(x)$とすると $${\int_{a}^{b}f(x)\; dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(a) - F(b)}$$

(a)

$$\int_{0}^{1}(x^2 + 3)\; dx = \left[\frac{x^3}{3} + 3x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$$

(b)

$$\int_{1}^{2}\frac{x^2 - 1}{x}\; dx = \int_{1}^{2}(x - \frac{1}{x})\; dx$$

$$= \left[\frac{x^2}{2} - \log\vert x\vert\right]_{1}^{2}$$

$$= 2 - \log{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \log{2}$$

(c)

$$\int_{0}^{1}\sqrt{x^3}\; dx = \int_{0}^{1}x^{\frac{3}{2}}\; dx = \left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}$$

(d)

$$\int_{0}^{\pi}\cos{x}\; dx = [\sin{x}]_{0}^{\pi} = 0$$

(e)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\; dx = [-\cos{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \cos{0} = 1$$

3.

$$\int_{a}^{c}f(x)\; dx + \int_{c}^{b}f(x)\;dx = \int_{a}^{b}f(x)\;dx$$

(a)

$$\int_{0}^{5}f(x)\; dx = \int_{0}^{2}f(x)\; dx + \int_{2}^{5}f(x)\; dx = 4 + 1 = 5$$

(b)

$$\int_{1}^{2}f(x)\; dx = \int_{0}^{2}f(x)\; dx - \int_{0}^{1}f(x)\; dx = 4 - 6 = -2$$

(c)

$$\int_{1}^{5}f(x)\; dx = \int_{1}^{2}f(x)\; dx + \int_{2}^{5}f(x)\; dx = -2 + 1 = -1$$

(d)

$$\int_{0}^{0}f(x)\; dx = 0$$

(e)

$$\int_{2}^{0}f(x)\; dx = -\int_{0}^{2}f(x)\; dx = -4$$

4.

微積分学の基本定理

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\;dt = f(x)$$

$\int_{a}^{x}f(t)\;dt$は$x$の関数なので，これを$F(x)$とおくと，左辺は$F'(x)$を求めることと同じである．$f(x)$が物体の速さだとすると， $\int_{a}^{x}f(t)\;dt$は速さ×時間より，時刻$a$から$x$までの間で動いた距離を表す．ということは，左辺は動いた距離の瞬間の変化を表している．しかし，動いた距離の瞬間の変化とは，速さのことである．したがって，右辺と等しい．

(a)

$$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}\sin{t}\;dt = \sin{x}$$

(b)

$$\frac{d}{dx}\int_{x}^{1}\cos{t}\;dt = -\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}\cos{t}\;dt = -\cos{x}$$

(c) $u = 2x$とおくと， $\frac{d}{dx} = \frac{d}{du}\cdot \frac{du}{dx}$より，

$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{2x}\sqrt{\sin{t}}\;dt = \frac{d}{dx}\int_{a}^{u}\sqrt{\sin{t}}\;dt$$

$$= \frac{d}{du}(\int_{a}^{u}\sqrt{\sin{t}}\;dt) \frac{du}{dx}$$

$$= \sqrt{\sin{u}} \cdot 2 = 2\sqrt{\sin{2x}}$$

5.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n}) = \int_{0}^{1}f(x)\; dx$$

(a)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n} = \int_{0}^{1}x\;dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

(b)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{2 + \frac{2}{n}} + \cdots + \frac{1}{2 + \frac{n}{n}}\right)$$

$$= \int_{0}^{1}\frac{1}{2+x}\;dx = [\log\vert 2+x\vert]_{0}^{1}$$

$$= \log{3} - \log{2} = \log{\frac{3}{2}}$$

(c)

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sqrt{\frac{i}{n}} = \int_{0}^{1}\sqrt{x}\;dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$$