3.4 部分分数分解

全ての不定積分は有理関数に変形できれば必ず求めることができる．

1.

(a) $${\frac{7}{(x-2)(x+5)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解すると, $(x-2)(x-5)$の因数$x-2$と$x+5$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{7}{(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$$

ここで分母を払い整理すると

$$7 = A(x+5) + B(x-2) = (A+B)x + 5A - 2B$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B = 0\\ 5A- 2B = 7 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{ll} 0 & 1\\ 7 & -2 \end{ar... ...begin{array}{ll} 1 & 1\\ 5 & -2 \end{array}\right\vert} = \frac{-7}{-7} = 1$$

これをもとの式に代入すると$B = -1$となるので

$$\frac{7}{(x-2)(x+5)} = \frac{1}{x-2} + \frac{-1}{x+5}$$

(b) $${\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解すると， $x(x-1)(x+1)$の因数 $x, x-1, x+1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{x^2 + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x + 1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$x^2 + 1 = A(x^2 -1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x)= (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B+C = 1\\ B-C = 0\\ A = -1 \end{array}\right.$$

$A = -1$より次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} B+C = 2\\ B-C = 0\\ \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$B = \frac{\left\vert \begin{array}{ll} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{a... ...egin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right\vert} = \frac{-2}{-2} = 1$$

これを上の式に代入すると$C = 1$となるので

$$\frac{x^2 + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x + 1}$$

(c) $${\frac{x^2 + 3}{x^2 -3x + 2}}$$は有理関数で，分子の次数が分母の次数以上なので，まず分子を分母で割ると

$$\frac{x^2 + 3}{x^2 -3x + 2} = 1 + \frac{3x + 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{3x+1}{(x-2)(x-1)}$$

となる．次に $\frac{x^2 + 3}{(x-2)(x-1)}$を部分分数分解すると， $(x-2)(x-1)$の因数$x-2$と$x-1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{3x+1}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$3x+ 1 = A(x-1) + B(x-2) = (A+B)x - (A +2B)$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B = 3\\ A+2B = -1 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{ll} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{a... ... \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right\vert} = \frac{7}{1} = 7$$

これをもとの式に代入すると$B = -4$となるので

$$\frac{3x + 1}{x^2 -3x + 2} = \frac{7}{x-2} + \frac{-4}{x-1}$$

(d) $${\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解すると， $(x-1)^2 (x+1)$の因数 $x-1, (x-1)^2, x+1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^{2}} + \frac{C}{x+1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$x^2 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^{2}= (A + C)x^2 + (B-2C)x + (-A + B + C)$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+C = 1\\ B-2C = 0\\ -A + B + C = 0 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{lll} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2... ... 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right\vert} = \frac{3}{4}$$

これを$A + C = 0$代入すると $C = \frac{1}{4}$．さらに， $A = \frac{3}{4}, C = \frac{1}{4}$より $B = \frac{1}{2}$を得る．よって

$$\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{3}{4(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)^{2}} + \frac{1}{4(x+1)}$$

(e) $${\frac{x^5}{(x - 2)^2}}$$は有理関数で分子の次数$geq$分母の次数なので，まず，分子を分母で割ると，

$$\frac{x^5}{x^2 - 4x + 4} = x^3 + 4x^2 + 12x + 32 + \frac{80x - 128}{(x-2)^2}$$

$${\frac{80x - 128}{(x-2)^2}}$$を部分分数分解すると，$(x-2)^2$の因数$x-2$と$(x-2)^2$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{80x-128}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x-21} + \frac{B}{(x-2)^{2}}$$

ここで分母を払い整理すると

$$80x-128 = A(x-2) + B$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，$A = 80$を得る．これを上の式に代入すると， $B = 2A - 128 = 160 - 128 = 32$を得る．よって

$$\frac{x^5}{x^2 - 4x + 4} = x^3 + 4x^2 + 12x + 32 + \frac{80}{x-2} + \frac{32}{(x-2)^2}$$

(f) $${\frac{x+1}{x(x^2+1)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので部分分数分解すると，$x(x^2+1)$の因数$x$と$x^2+1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2 + 1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$x+1 = A(x^2+1) + x(Bx+C)$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B = 0\\ C = 1\\ A = 1 \end{array}\right.$$

これより，$B = -1$を得る．よって，

$$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2 + 1}$$