0.2 不等式(INEQUALITIES)

1.

(a) 両辺から2を引いて左辺にxの項だけを残す

$$2+3x \leq 5$$

$$3x \leq 5 - 2$$

$$x \leq 1$$

したがって， $(-\infty,1]$

(b) 両辺に2と3の最小公倍数6をかけて，分母を払う．

$$\frac{1}{2}(1+x) < \frac{1}{3}(1 - x)$$

$$3(1+x) < 2(1-x)$$

$$3 + 3x < 2 - 2x$$

$$3x + 2x < 2 - 3$$

$$5x < -1$$

$$x < -\frac{1}{5}$$

したがって， $(-\infty,-\frac{1}{5})$

(c) 両辺を4で割る．

$$4(x^{2} - 3x + 2) >$$ 0

$$x^{2} - 3x + 2 >$$ 0

$$(x - 1)(x - 2) >$$ 0

ここで，積 $(x-1)(x-2)$が0になるのは，1と2である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける． これにより，数直線は次の3つの区間に分割される．

$$(-\infty, 1),\ (1,2), \ (2, \infty)$$

これらの区間内では，積 $(x-1)(x-2)$の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, 1)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)] = (-)(-) = +$
$(1,2)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)] = (+)(-) = -$
$(2, \infty)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)] = (+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$となる．

(d) 両辺に$x^{2}$をかけて分母を払う．

$$\frac{1}{x} < x$$

$$x < x^{3}$$

$$< x^{3} - x$$ 0

$$< x(x+1)(x-1)$$ 0

ここで，積 $x(x+1)(x-1)$が0になるのは，-1,0と1である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける． これにより，数直線は次の4つの区間に分割される．

$$(-\infty, -1),\ (-1,0),\ (0,1), \ (1, \infty)$$

これらの区間内では，積 $x(x+1)(x-1)$の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, -1)$	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (-)(-)(-) = -$
$(-1,0)$	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (-)(+)(-) = +$
$(0,1)$	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (+)(+)(-) = -$
$(1, \infty)$	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (+)(+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(-1,0) \cup (1, \infty)$となる．

(e) 両辺に$(x+1)^{2}$をかけて分母を払う．

$$\frac{x^{2} - 9}{x+1} >$$ 0

$$(x^{2}-9)(x+1) >$$ 0

$$(x+3)(x-3)(x+1) >$$ 0

ここで，積 $(x+3)(x-3)(x+1)$が0になるのは，-3,-1と3である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける． これにより，数直線は次の4つの区間に分割される．

$$(-\infty, -3),\ (-3,-1),\ (-1,3), \ (3, \infty)$$

これらの区間内では，積 $(x+3)(x-3)(x+1)$の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, -3)$	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (-)(-)(-) = -$
$(-3,-1)$	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (+)(-)(-) = +$
$(-1,3)$	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (+)(-)(+) = -$
$(3, \infty)$	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (+)(+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(-3,1) \cup (3, \infty)$となる．

(f) 分母を通分すると，

$$\frac{5x-10}{(x-1)(x-6)} = \frac{5(x-2)}{(x-1)(x-6)} > 0$$

両辺に $(x-1)^{2}(x-6)^{2}$をかけて分母を払う．

$$\frac{5(x-2)}{(x-1)(x-6)} > 0 >$$ 0

$$5(x-2)(x-1)(x-6) >$$ 0

ここで，積 $(x-1)(x-2)(x-6)$が0になるのは，1,2と6である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける． これにより，数直線は次の4つの区間に分割される．

$$(-\infty, 1),\ (1,2),\ (2,6), \ (6, \infty)$$

これらの区間内では，積 $(x-1)(x-2)(x-6)$の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, 1)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (-)(-)(-) = -$
$(1,2)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (+)(-)(-) = +$
$(2,6)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (+)(+)(-) = -$
$(6, \infty)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (+)(+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(1,2) \cup (6, \infty)$となる．

2. 両辺を2乗する．

$$\frac{x}{x+1}, \frac{x+1}{x+2}$$

このとき，2つの値は正なので，2乗してもその大小関係は変わらない． 分母をそろえると，

$$\frac{x^{2} + 2x}{(x+1)(x+2)}, \frac{x^{2} + 2x +1}{(x+1)(x+2)}$$

これより， $${\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}$$のほうが大きい．

3.

(a) $\vert x\vert < 2$とは $-2 < x < 2$のことである．したがって，不等式の解は$(-2,2)$．

(b) $\vert x + 2\vert < \frac{1}{4}$とは， $-\frac{1}{4} < x + 2 < \frac{1}{4}$のことである．これより， $-\frac{9}{4} < x < -\frac{7}{4}$．したがって，不等式の解は $(-\frac{9}{4}, -\frac{7}{4})$

(c) $0 < \vert x-3\vert < 8$とは，$0 < \vert x-3\vert$かつ$\vert x-3\vert < 8$のことである．$0 < \vert x-3\vert$とは$x \neq 3$のことである．また， $\vert x-3\vert < 8$とは， $-8 < x-3 < 8$，つまり， $-5 < x < 11$のことである．これより， $-5 < x < 3$または $3 < x < 11$となる．したがって，不等式の解は $(-5, 3) \cup (3, 11)$

(d) $\vert 2x + 5\vert > 3$とは，$3 < 2x+5$または$2x＋5 < -3$のことである．$3 < 2x+5$を解くと$-2 < 2x$より$-1 < x$となる．また，$2x＋5 < -3$を解くと，$2x < -8$より$x < -4$となる，したがって，不等式の解は $(-\infty,-4) \cup (-1, \infty)$

4. $\vert a - b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$が成り立つことを示す．$\vert x\vert$を $\sqrt{x^{2}}$とおくと，

$$\vert a-b\vert^{2} = (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} \leq \vert a... ...\vert a\vert\vert b\vert + \vert b\vert^{2} = (\vert a\vert + \vert b\vert)^{2}$$

ここで，両辺の平方根をとると

$$\vert a-b\vert \leq \vert a + b\vert$$