演習問題

1.

次の線積分を求めよう．

(a) $${\oint_{C}(x^2 - xy^3)dx + (y^2 - 2xy) dy}$$, ただし， $C$ は点 $(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)$ を頂点とする正方形．

(b) $${\oint_{C}(2xy^3 - y^2 \cos{x})dx + (1 - 2y \sin{x} + 3x^2 y^2) dy}$$, ただし， $C$ は点 $(0,0)$ から点 $${(\frac{\pi}{2},1)}$$ を放物線 $2x = \pi y^2$ に沿って進む．

(c) $${\oint_{\partial S} -z^2 dx + xy^2 dy + z dz}$$, ただし， $${S : z = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}}$$

2.

次の面積分を求めよう．

(a) $${\iint_{S}(x^2 + y^2) dS}$$, ただし， $${S : z^2 = 3(x^2 + y^2), 0 \leq z \leq 3}$$

(b) $${\iint_{S}{\rm curl}{\bf F} \cdot \hat{\bf n} dS}$$, ただし， $${{\bf F} = (x^2 -x,-xy, 3z), S : z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}, z \geq 0}$$

(c) $${\iint_{S}{\bf F} \cdot \hat{\bf n} dS}$$, ただし， $${{\bf F} = (x-z,x^3 + yz, -3xy^3)}$$, $${S : z = 4 - y^2}$$, $x = 0, x=3, z = 0$

(d) $${\iint_{S}x dydz + ydzdx + zdxdy}$$, ただし， $S$ は 円柱 $${x^2 + y^2 = 9}$$ と平面 $z = 0, z= 3$ で囲まれた領域

3.

単連結な閉曲線 $C$ で囲まれた領域の面積$A$ は， $${\frac{1}{2}\oint xdy - ydx}$$ で与えられることを示そう．

4.

楕円 $${x = a\cos{\theta}, y = b\sin{\theta}}$$ の面積を求めよう．

5.

$f,g$ をスカラー場とするとき次の式が成り立つことを示そう．

$${\iint_{S}f \frac{\partial g}{\partial n} dS = \iiint_{V}(f \nabla^2 g + {\rm grad}f \cdot {\rm grad}g)dV }$$ここで $${\frac{\partial f}{\partial n}, \frac{\partial g}{\partial n}}$$ はそれぞれ$f,g$ の $S$ における外向き法線方向の方向微分係数を表わす．