8.2 解答

8.2

1. $f(x,y,z) = 0$ の法ベクトル ${\bf N}$ は

$\displaystyle {\bf N} = \nabla f = (f_{x},f_{y},f_{z})$

点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り，法ベクトル ${\bf N} = (A,B,C)$ である平面の方程式は，

$\displaystyle A(x-x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$

(a) $f(x,y,z) = x^2 - y^2 -z = 0$ とおくと

$\displaystyle \nabla f(1,1,0) = (2x,-2y,-1)\mid_{(1,1,0)} = (2,-2,-1)$

よって，法線単位ベクトル ${\hat {\bf n}}$ は

$\displaystyle {\hat {\bf n}} = \frac{(2,-2,-1)}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{(2,-2,-1)}{3}$

また，椄平面は

$\displaystyle 2(x-1) -2(y-1) - z = 0$

(b) $f(x,y,z) = 2x - 4y^2 + z^3 = 0$ とおくと

$\displaystyle \nabla f(-4,0,2) = (2,-8y,3z^2)\mid_{(-4,0,2)} = (2,0,12)$

よって，法線単位ベクトル ${\hat {\bf n}}$ は

$\displaystyle {\hat {\bf n}} = \frac{(2,0,12)}{\sqrt{2^2 + 12^2}} = \frac{(1,0,6)}{\sqrt{37}}$

また，接平面は

$\displaystyle x+4 + 6(z-2) = 0$

(c) $f(x,y,z) = \cos{x} + \sin{y} + z - 1 = 0$ とおくと

$\displaystyle \nabla f(0,\pi,0) = (-\sin{x},\cos{y},1)\mid_{(0,\pi,0)} = (0,-1,1)$

よって，法線単位ベクトル ${\hat {\bf n}}$ は

$\displaystyle {\hat {\bf n}} = \frac{(0,-1,1)}{\sqrt{(-)^2 + 1^2}} = \frac{(0,-1,1)}{\sqrt{2}}$

また，椄平面は

$\displaystyle y - z = \pi$

2. ${\hat{\bf u}}$ を方向単位ベクトルとすると， $\rho(x,y,z) = ke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}$ の ${\hat{\bf u}}$ 方向への方向微分は

$\displaystyle \rho_{\hat{\bf u}}'(x,y,z) = \nabla \rho \cdot {\hat{\bf u}}$

で与えられる．よって変化が最大となるのは， $\nabla \rho$ と ${\hat{\bf u}}$ が平行の時である．

(a) ${\hat{\bf u}}$ を方向単位ベクトルとする．

$\displaystyle \rho_{x} = -2xke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, \rho_{y} = -2yke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, \rho_{z} = -2zke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}$

より

$\displaystyle \nabla \rho(1,0,1) = (-2ke^{-2},0,-2ke^{-2})$

変化が最大となるのは， $\nabla \rho$ と ${\hat{\bf u}}$ が平行の時であるので

$\displaystyle {\hat{\bf u}} = \frac{(-1,0,-1)}{\sqrt{2}}$

(b) ${\hat{\bf u}}$ を方向単位ベクトルとする．

$\displaystyle \rho_{x} = -2xke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, \rho_{y} = -2yke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}, \rho_{z} = -2zke^{-(x^2 + y^2 + z^2)}$

より

$\displaystyle \nabla \rho(1,0,1) = (-2ke^{-2},0,-2ke^{-2})$

変化が最小となるのは， $\nabla \rho$ と ${\hat{\bf u}}$ が直交する時であるので

$\displaystyle {\hat{\bf u}} = \frac{(1,0,-1)}{\sqrt{2}}, \mbox{または} \ \frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}$

3. ${\bf F}(x,y)$ をベクトル場とし， $f(x,y) = c$ を力線の方程式とすると， $\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y})$ はの法線ベクトルを表わすので，

$\displaystyle \nabla f(x,y) \cdot F(x,y) = 0 よって (f_{x},f_{y}) \cdot {\bf F}(x,y) = 0$

が成り立つ．

(a) $f(x,y) = c$ を力線の方程式とするとすると，接線の傾きは

$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy = 0 より \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}}$

また，力線とベクトル場の関係から

$\displaystyle \nabla f(x,y) \cdot F(x,y) = (f_{x},f_{y}) \cdot (-2y,x) = 0$

よって

$\displaystyle -2y f_{x} + x f_{y} = 0$

この2つの式から

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}} = \frac{2y}{x}$

書き直すと

$\displaystyle x dx + 2y dy = 0$

これより $f_{x} = x, f_{y} = 2y$ ．したがって，

$\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2}{2} + y^2 = c．$

(b) $f(x,y) = c$ を力線の方程式とするとすると，接線の傾きは

$\displaystyle f_{x}dx + f_{y}dy = 0 より \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}}$

また，力線とベクトル場の関係から

$\displaystyle \nabla f(x,y) \cdot {\bf F}(x,y) = (f_{x},f_{y}) \cdot (x,-y) = 0$

よって

$\displaystyle x f_{x} - y f_{y} = 0$

この2つの式から

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{f_{x}}{f_{y}} = -\frac{y}{x}$

書き直すと

$\displaystyle x dy + y dx = 0$

これより $f_{x} = y, f_{y} = x$ ．したがって，

$\displaystyle f(x,y) = xy = c．$