6.9 解答

6.9

1. $f(x,y) = 0$より定まる陰関数$y = g(x)$が$x = x_{0}$で極値 $y_{0} = g(x_{0})$をとるならば，

$$f(x_{0},y_{0}) = 0, f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0, f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0$$

さらに

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} > 0 ならば y_{0} = g(x_{0}) 極小値である．$$

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} < 0 ならば y_{0} = g(x_{0}) 極大値である．$$

(a) まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$を満たす$(x,y)$を求める．

$$f(x,y) = 8x^2 + 4xy + 5y^2 - 36 = 0, f_{x}(x,y) = 16x + 4y = 0$$

より $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})$． 次に，

$$f_{xx} = 16, f_{y} = 4x + 10y$$

より $\frac{d^2 y}{dx^2}$を計算すると

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2})} = -\frac{16}{2\sqrt{2} - 20\sqrt{2}} > 0$$

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})} = -\frac{16}{-2\sqrt{2} + 20\sqrt{2}} < 0$$

よって $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき $y = -2\sqrt{2}$は極小値， $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき $y = 2\sqrt{2}$は極大値．

(b)

まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$を満たす$(x,y)$を求める．

$$f(x,y) = x^2 y + x + y = 0, f_{x}(x,y) = 2xy + 1= 0$$

より $y = -\frac{1}{2x}$．これを $f(x,y) = 0$に代入すると

$$x^2 (-\frac{1}{2x}) + x - \frac{1}{2x} = \frac{x^2 -1}{2x} = 0$$

よって $(1, -\frac{1}{2}), (-1, \frac{1}{2})$． 次に，

$$f_{xx} = 2y, f_{y} = 2x$$

より $\frac{d^2 y}{dx^2}$を計算すると

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(1, -\frac{1}{2})} = -\frac{-1}{2} > 0$$

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(-1, \frac{1}{2})} = -\frac{1}{-2} > 0$$

よって$x = 1$のとき $y = -\frac{1}{2}$は極小値，$x = -1$のとき $y = \frac{1}{2}$も極小値．

(c)

まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$を満たす$(x,y)$を求める．

$$f(x,y) = x^3 + y^3 - 6xy = 0, f_{x}(x,y) = 3x^2 -6y= 0$$

より $y = \frac{x^2}{2}$．これを $f(x,y) = 0$に代入すると

$$x^3 + \frac{x^6}{8} - 3x^3 = \frac{x^3}{8}(x^3 - 16) = 0$$

よって $(0,0), (2\sqrt[3]{2}, 2\cdot2^{\frac{2}{3}})$． 次に，

$$f_{xx} = 6x, f_{y} = -6$$

より $\frac{d^2 y}{dx^2}$を計算すると

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(0,0)} = -\frac{0}{-6} = 0$$

$$\frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(2\sqrt[3]{2}, 2\cdot2^{\frac{2}{3}})} = -\frac{6\cdot 2\sqrt[3]{2}}{-6} > 0$$

よって $x = 2\sqrt[3]{2}$のとき $y = 2\cdot2^{\frac{2}{3}}$は極小値．

2. $g_{x}(x_{0},y_{0})$ と $g_{y}(x_{0},y_{0})$の少なくとも一方は0でないとする． 条件 $g(x,y) = 0$の元で，$f(x,y)$が $(x_{0},y_{0})$で極値をとるための必要条件は

$$F(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$$

とおいて， $(x_{0},y_{0})$で

$$F_{\lambda}(x,y) = 0, F_{x}(x,y) = 0, F_{y}(x,y) = 0$$

が成り立つことである． ここで， $g(x,y) = 0, g_{x}(x,y) = g_{y}(x,y) = 0$の点を特異点という．

(a) $F(x,y,\lambda) = xy^3 - \lambda(x^2 + y^2 -1)$とおくと

$$F_{\lambda} = 0 より x^2 + y^2 -1 = 0$$ (10.9)

$$F_{x} = 0 より y^3 - 2x\lambda = 0$$ (10.10)

$$F_{y} = 0 より 3xy^2 - 2y\lambda = 0$$ (10.11)

$y = 0$のとき式(10.9)より，$x = \pm 1$，式(10.10)より $\lambda = 0$． $y \neq 0$のとき，式(10.11)より $2\lambda = 3xy$．式(10.10)に代入して， $y^3 - x(3xy) = y(y^2 - 3x^2) = 0$より $y^2 = 3x^2$．式(10.9)に代入して $x^2 + 3x^2 - 1 = 0$より $x = \pm \frac{1}{2}$．よって， $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$．したがって，式(10.9),(10.10),(10.11)の解は，

$$(x,y) = (1,0),(-1,0),(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{... ...rt{3}}{2}),(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

このとき，$xy^3$の値は，

$$0,0,\frac{3\sqrt{3}}{16},-\frac{3\sqrt{3}}{16},-\frac{3\sqrt{3}}{16},\frac{3\sqrt{3}}{16}$$

一方， $g(x,y) = 0$は有界閉集合で，この上で$f$は連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$$f(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = f(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{16}，$$

最小値は

$$f(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = f(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{16}．$$

(b) $F(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^3 + y^3 - 6xy)$とおくと

$$F_{\lambda} = 0 より x^3 + y^3 - 6xy = 0$$ (10.12)

$$F_{x} = 0 より 2x - \lambda(3x^2 - 6y) = 0$$ (10.13)

$$F_{y} = 0 より 2y - \lambda(3y^2 - 6x) = 0$$ (10.14)

式(10.12),(10.13)より

$$\lambda = \frac{2x}{3x^2 - 6y} = \frac{2y}{3y^2 - 6x}$$

$$6xy^2 - 12x^2 = 6x^2 y -12y^2$$

$$(x-y)(xy + 2(x+y)) = 0$$

よって，$x = y$，または， $y = -\frac{2x}{x + 2}$． $F_{\lambda} = 0$より $x^3 + x^3 - 6x^2 = 2x^2(x - 3) = 0$．したがって， $(x = 0, y= 0), (x = 3, y = 3)$． 一方， $g(x,y) = 0$の第1象限の部分に原点をつけ加えたものは有界閉曲線で，$f(x,y)$はその上で連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$$f(3,3) = 18.$$

又， $(x,y) \neq (0,0)$なら $f(x,y) > 0$であるから， $f(0,0) = 0$が極小値かつ最小値である．

(c) $F(x,y,\lambda) = xy - \lambda(x^2 - xy + y^2 - 1)$とおくと

$$F_{\lambda} = 0 より x^2 - xy + y^2 - 1 = 0$$ (10.15)

$$F_{x} = 0 より y - \lambda(2x - y) = 0$$ (10.16)

$$F_{y} = 0 より x - \lambda(2y - x) = 0$$ (10.17)

式(10.16),(10.17)より

$$\lambda = \frac{y}{2x-y} = \frac{x}{2y-x}$$

$$2y^2 - xy = 2x^2 - xy$$

$$x^2 = y^2$$

よって，$x = \pm y$．$x = y$のとき $F_{\lambda} = 0$より $x^2 - x^2 + x^2 - 1 = x^2 - 1 = 0$．したがって， $(x = 1, y= 1),(x = -1, y = -1)$．$x=-y$のとき $x^2 + x^2 + x^2 - 1 = 3x^2 - 1 = 0$．したがって， $(x = \frac{\sqrt{3}}{3},y=-\frac{\sqrt{3}}{3}),(x = -\frac{sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3})$． このとき， $f(x,y) = xy$の値は，

$$1,1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}$$

一方， $g(x,y) = 0$は有界閉集合で，この上で$f$は連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$$f(1,1) = f(-1,-1) = 1，$$

最小値は

$$f(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}) = f(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{1}{3}．$$

3. $g(x,y) = 2x + 3y - 12 = 0$とおくと $F(x,y,\lambda) = xy - \lambda(2x + 3y - 12)$.

$$F_{\lambda} = 0 より 2x + 3y -12 = 0$$ (10.18)

$$F_{x} = 0 より y - 2\lambda = 0$$ (10.19)

$$F_{y} = 0 より x - 3\lambda = 0$$ (10.20)

式(10.19),(10.20)より $y=2\lambda, x = 3\lambda$．これを式(10.18)に代入すると

$$6\lambda + 6\lambda -12 = 12\lambda -12 = 0$$

よって， $\lambda = 1$より $(x = 3, y = 2)$．一方， $g(x,y) = 0$は有界閉集合ではないが， $x, y \geq 0$とすると， $g(x,y) = 0$は有界閉集合となり，この上で $f(x,y) = xy$は最大値を持つ．以上より，最大値は

$$f(3,2) = 6.$$

4.

$g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$とおくと $F(x,y,z,\lambda) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)$.

$$F_{\lambda} = 0 より x^2 + y^2 + z^2 -1 = 0$$ (10.21)

$$F_{x} = 0 より 2x - 2x\lambda = 0$$ (10.22)

$$F_{y} = 0 より 4y - 2y\lambda = 0$$ (10.23)

$$F_{z} = 0 より 6z - 2z\lambda = 0$$ (10.24)

式(10.22),(10.23),(10.24)より $2x(1-\lambda)=0$, $2y(2 - \lambda) = 0$, $2z(3-\lambda) = 0$．ここで，$x \neq 0$とすると， $\lambda = 1$より$y = z = 0$．これを式(10.21)に代入すると

$$x^2 - 1 = 0 より x = \pm 1$$

よって， $(1,0,0), (-1,0,0)$．$y \neq 0$とすると， $\lambda = 2$より$x = z = 0$．これを式(10.21)に代入すると

$$y^2 - 1 = 0 より y = \pm 1$$

よって， $(0,1,0), (0,-1,0)$．$z \neq 0$とすると， $\lambda = 3$より$x = y = 0$．これを式(10.21)に代入すると

$$z^2 - 1 = 0 より z = \pm 1$$

よって， $(0,0,1), (0,0,-1)$．これより式(10.21)の値を求めると

$$f(1,0,0) = f(-1,0,0) = 1, f(0,1,0) = f(0,-1,0) = 2, f(0,0,1) = f(0,0,-1) = 3$$

一方， $g(x,y,z) = 0$は有界閉集合で，この上で$f$は連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$$f(0,0,1) = f(0,0,-1) = 3.$$

また，最小値は

$$f(1,0,0) = f(-1,0,0) = 1.$$